Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 484 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

484 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
Выполним еще одно, совершенно аналогичное, построение:
U
2
= {y ∈ P
n
: y
1
= ... = y
s
0
= 0} 6 P
n
; dim(U
2
) = n − s
0
; (38.10)
W
2
=
−1
γ (U
2
) = {x ∈ V : γ(x) ∈ U
2
} =
= {x ∈ V : y
1
= ... = y
s
0
= 0} 6 V ; dim(W
2
) = n − s
0
. (38.11)
Вычисление значения h(x) на произвольном ненулевом векторе
x ∈ W
1
дает [в соответствии с левой частью (38.7)]:
h(x) = x
2
1
+ ... + x
2
s
> 0. (38.12)
(Строгость последнего неравенства обусловливается тем, что, в
силу предположения s > s
0
, положительный индекс инерции s > 0.)
Аналогично, на любом x ∈ W
2
имеем:
h(x) = −(y
2
s
0
+1
+ ... + y
2
r
) 6 0. (38.13)
Неравенства (38.12) и (38.13) приведут к противоречию, если пе-
ресечение W
1
∩ W
2
нетривиально, т. е. существует вектор x 6= 0,
принадлежащий обоим этим подпространствам.
Убедимся, что это на самом деле так.
Формула Грассмана (см. п. 8.2) дает:
dim(W
1
∩ W
2
) = dim(W
1
) + dim(W
2
) − dim(W
1
+ W
2
) =
= s + (n −s
0
) −dim(W
1
+ W
2
) = (s −s
0
) + (n −dim(W
1
+ W
2
)) > 0,
поскольку s > s
0
и dim(W
1
+ W
2
) 6 n.
Значит, W
1
∩ W
2
6= O; противоречие получено; теорема доказа-
на. ¤
Замечание 38.2. Итак, корректность сопоставления сигнатуры
(индексов инерции) симметрической билинейной (квадратичной)
форме над полем R обоснована. Те же характеристики принято
сопоставлять симметрическим матрицам над R, говоря, например,
о сигнатуре симметрической матрицы. Согласно доказанному в
теореме 38.1, сигнатура не изменяется при замене матрицы на кон-
груэнтную.
Подобно тому, как после выяснения (в предложении 36.1) простей-
шего возможного (скелетного) диагонального вида для с.б.ф. (кв.ф.)
над алгебраически замкнутым полем P, мы немедленно получили
(в предложении 36.2) критерий когруэнтности для симметрических
квадратных матриц с элементами из P, здесь, после доказательства
теоремы инерции, мы можем сформулировать аналогичный крите-
рий над полем P = R.
484      Линейные, билинейные и квадратичные формы                  Гл. 4

  Выполним еще одно, совершенно аналогичное, построение:
  U2 = {y ∈ P n : y1 = ... = ys0 = 0} 6 P n ; dim(U2 ) = n − s0 ;   (38.10)
        −1
  W2 = γ (U2 ) = {x ∈ V : γ(x) ∈ U2 } =
        = {x ∈ V : y1 = ... = ys0 = 0} 6 V ; dim(W2 ) = n − s0 . (38.11)
   Вычисление значения h(x) на произвольном ненулевом векторе
x ∈ W1 дает [в соответствии с левой частью (38.7)]:
                        h(x) = x21 + ... + x2s > 0.                 (38.12)
  (Строгость последнего неравенства обусловливается тем, что, в
силу предположения s > s0 , положительный индекс инерции s > 0.)
  Аналогично, на любом x ∈ W2 имеем:
                     h(x) = −(ys20 +1 + ... + yr2 ) 6 0.            (38.13)
  Неравенства (38.12) и (38.13) приведут к противоречию, если пе-
ресечение W1 ∩ W2 нетривиально, т. е. существует вектор x 6= 0,
принадлежащий обоим этим подпространствам.
  Убедимся, что это на самом деле так.
  Формула Грассмана (см. п. 8.2) дает:
      dim(W1 ∩ W2 ) = dim(W1 ) + dim(W2 ) − dim(W1 + W2 ) =
= s + (n − s0 ) − dim(W1 + W2 ) = (s − s0 ) + (n − dim(W1 + W2 )) > 0,
поскольку s > s0 и dim(W1 + W2 ) 6 n.
   Значит, W1 ∩ W2 6= O; противоречие получено; теорема доказа-
на. ¤
   Замечание 38.2. Итак, корректность сопоставления сигнатуры
(индексов инерции) симметрической билинейной (квадратичной)
форме над полем R обоснована. Те же характеристики принято
сопоставлять симметрическим матрицам над R, говоря, например,
о сигнатуре симметрической матрицы. Согласно доказанному в
теореме 38.1, сигнатура не изменяется при замене матрицы на кон-
груэнтную.
   Подобно тому, как после выяснения (в предложении 36.1) простей-
шего возможного (скелетного) диагонального вида для с.б.ф. (кв.ф.)
над алгебраически замкнутым полем P, мы немедленно получили
(в предложении 36.2) критерий когруэнтности для симметрических
квадратных матриц с элементами из P , здесь, после доказательства
теоремы инерции, мы можем сформулировать аналогичный крите-
рий над полем P = R.

Страницы