Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 486 стр.

486    Линейные, билинейные и квадратичные формы            Гл. 4

    Предложение 38.2. Пусть h — квадратичная форма сигнатуры
[s, t] на n-мерном действительном линейном пространстве V. Тогда
    (1) h является п.о. ⇐⇒ s = n ;
    (2) h является о.о. ⇐⇒ t = n ;
    (3) h является п.п.о. ⇐⇒ t = 0 ;
    (4) h является о.п.о. ⇐⇒ s = 0 ;
    (5) h является знакопеременной ⇐⇒ s > 0 ∧ t > 0 .

  Доказательство. 1.1. Если s = n (и, следовательно, t = 0 и
r = s = n), то в нормализирующем базисе форма h выражается
формулой
                   h(x) = x21 + x22 + ... + x2n ,      (38.14)
из которой немедленно следует, что h(x) > 0 для любого x ∈ V , а
если x 6= 0, то h(x) > 0. Значит форма h является п.о.
   1.2. Обратно, пусть h положительно определена. Докажем, что
s = n. Предположим противное. Тогда
   — либо t > 0,
   — либо t = 0, но r = s < n.
   1.2.1. В первом случае нормальный вид формы h содержит хотя
бы один член с минусом: −x2s+1 . Рассмотрев произвольный вектор
x ∈ V, все координаты которого (в нормализирующем базисе) равны
нулю, кроме одной: xs+1 = 1, мы получим значение h(x) = −1, что
противоречит положительной определенности h.
   1.2.2. Во втором случае годится то же самое рассуждение: значе-
ние h(x) окажется не отрицательным, а нулевым, но и это противо-
речит положительной определенности.
   2. Второе утверждение немедленно следует из первого, посколь-
ку, как отмечалось выше, переменой знака случай положительной
определенности сводится к случаю отрицательной определенности,
и обратно.
   3.1. Если t = 0, то в нормализирующем базисе выражение для
формы h имеет слеедующий [более общий, чем (38.14)] вид:

                     h(x) = x21 + x22 + ... + x2r ;        (38.15)

неотрицательность всех ее значений очевидна.
   3.2. Обратно, предположим, что h является п.п.о. Докажем, что
t = 0. Предположив противное, мы тут же приходим к противоре-
чию, рассуждая точно так же, как в 1.2.1.