Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 485 стр.

§ 38     Квадратичные формы над полем R . Сигнатура           485

   Предложение 38.1. Две симметрические матрицы A и B с дей-
ствительными элементами конгруэнтны тогда и только тогда, когда
их сигнатуры одинаковы. ¤

   38.3. Знакоопределенные и знакопеременные симметри-
ческие билинейные (квадратичные) формы над полем R .
Вводимые ниже понятия, связанные со знакоопределенностью (зна-
копеременностью), по своей природе относятся к квадратичным фо-
рмам над R. Однако, ввиду наличия изоморфизма между простран-
ствами квадратичных и симметрических билинейных форм, к по-
следним их также принято относить. (Например, с.б.ф. считает-
ся знакоопределенной, если таковой является соответствующая ей
кв.ф.; точные определения — ниже.)
   Определение 38.1. Кв.ф. h ∈ K(V ) [а также полярная ей с.б.ф.
f ∈ L2s (V )] называется
   — положительно определенной (п.о.), если на любом ненулевом
векторе x ∈ V значение h(x) > 0;
   — отрицательно определенной (о.о.), если на любом ненулевом
векторе x ∈ V значение h(x) < 0;
   — положительно полуопределенной (п.п.о.), если на любом век-
торе x ∈ V значение h(x) > 0;
   — отрицательно полуопределенной (о.п.о.), если на любом векто-
ре x ∈ V значение h(x) 6 0;
   — знакопеременной, если h может принимать значения различ-
ных знаков, т. е. существуют векторы x, y ∈ V , такие, что h(x) > 0
и h(y) < 0.

  Ясно, что положительно (отрицательно) определенные формы яв-
ляются частным случаем положительно (отрицательно) полуопреде-
ленных. Единственной квадратичной формой, являющейся одновре-
менно и положительно, и отрицательно полуопределенной, является
нулевая форма.
  Положительная (полу)определенность формы h влечет отрица-
тельную (полу)определенность формы −h, и наооборот. Форма, про-
тивоположная знакопеременной, сама является таковой.
  Характер квадратичной формы (в плане ее знакоопеределенно-
сти, полуопределенности или переменности) определяется ее сигна-
турой.