Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 483 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 38 Квадратичные формы над полем R
R
R. Сигнатура 483
личество ненулевых элементов на диагонали матрицы одно и то же
и равняется рангу r = rank(h).
Рассмотрим для кв.ф. h два любых нормализирующих базиса, B
и C. Пусть вектору x ∈ V отвечают в указанных базисах координат-
ные столбцы β(x) = x и γ(x) = y соответственно. (В их определении
участвуют координатные изоморфизмы β, γ : V → P
n
; см. п. 6.4.)
Выпишем и приравняем два координатных выражения для зна-
чения h(x) формы h на произвольном векторе x ∈ V (т.е. два нор-
мальных вида):
x
2
1
+ ... + x
2
s
− (x
2
s+1
+ ... + x
2
r
) =
= y
2
1
+ ... + y
2
s
0
− (y
2
s
0
+1
+ ... + y
2
r
), (38.7)
где s и s
0
— положительные индексы инерции в базисах B и C соот-
ветственно (уже учтена инвариантность ранга, так что для отрица-
тельных индексов получаются значения t = r −s и t
0
= r −s
0
).
Надо доказать, что s = s
0
, тогда равенство t = t
0
окажется спра-
ведливым автоматически и инвариантность сигнатуры будет дока-
зана. Предположим противное: s 6= s
0
, и пусть, для определенно-
сти, s > s
0
.
Равенство (38.7) справедливо для любого вектора x (который про-
бегает всё пространство V ); вектор-столбец x связан с x координат-
ным изоморфизмом β, и, следовательно, пробегает — также всё —
арифметическое линейное пространство P
n
; то же самое можно ска-
зать и про вектор-столбец y.
Кроме того, мы помним, что при линейных изоморфизмах линей-
ные подпространства переходят в линейные подпространства, при-
чем — с сохранением размерности.
Рассмотрим далее s-мерное координатное линейное подпростран-
ство
U
1
= {x ∈ P
n
: x
s+1
= ... = x
n
= 0} 6 P
n
(38.8)
в арифметическом линейном пространстве (заданное n −s линейны-
ми уравнениями простейшего возможного типа).
Такую же размерность будет иметь прообраз W
1
подпростран-
ства U
1
при изоморфизме β:
W
1
=
−1
β (U
1
) = {x ∈ V : β(x) ∈ U
1
} =
= {x ∈ V : x
s+1
= ... = x
n
= 0} 6 V. (38.9)
§ 38       Квадратичные формы над полем R . Сигнатура                           483

личество ненулевых элементов на диагонали матрицы одно и то же
и равняется рангу r = rank(h).
   Рассмотрим для кв.ф. h два любых нормализирующих базиса, B
и C. Пусть вектору x ∈ V отвечают в указанных базисах координат-
ные столбцы β(x) = x и γ(x) = y соответственно. (В их определении
участвуют координатные изоморфизмы β, γ : V → P n ; см. п. 6.4.)
   Выпишем и приравняем два координатных выражения для зна-
чения h(x) формы h на произвольном векторе x ∈ V (т.е. два нор-
мальных вида):

  x21 + ... + x2s − (x2s+1 + ... + x2r ) =
                                = y12 + ... + ys20 − (ys20 +1 + ... + yr2 ),   (38.7)

где s и s0 — положительные индексы инерции в базисах B и C соот-
ветственно (уже учтена инвариантность ранга, так что для отрица-
тельных индексов получаются значения t = r − s и t0 = r − s0 ).
   Надо доказать, что s = s0 , тогда равенство t = t0 окажется спра-
ведливым автоматически и инвариантность сигнатуры будет дока-
зана. Предположим противное: s 6= s0 , и пусть, для определенно-
сти, s > s0 .
   Равенство (38.7) справедливо для любого вектора x (который про-
бегает всё пространство V ); вектор-столбец x связан с x координат-
ным изоморфизмом β, и, следовательно, пробегает — также всё —
арифметическое линейное пространство P n ; то же самое можно ска-
зать и про вектор-столбец y.
   Кроме того, мы помним, что при линейных изоморфизмах линей-
ные подпространства переходят в линейные подпространства, при-
чем — с сохранением размерности.
   Рассмотрим далее s-мерное координатное линейное подпростран-
ство
              U1 = {x ∈ P n : xs+1 = ... = xn = 0} 6 P n       (38.8)

в арифметическом линейном пространстве (заданное n − s линейны-
ми уравнениями простейшего возможного типа).
   Такую же размерность будет иметь прообраз W1 подпростран-
ства U1 при изоморфизме β:

         −1
  W1 = β (U1 ) = {x ∈ V : β(x) ∈ U1 } =
                              = {x ∈ V : xs+1 = ... = xn = 0} 6 V.             (38.9)

Страницы