Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 487 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 38 Квадратичные формы над полем R
R
R. Сигнатура 487
4. Это утверждение переменой знака сводится к предыдущему.
5.1. Если оба индекса инерции отличны от нуля, то в нормаль-
ном виде для формы h присутствуют как квадраты с плюсом, так и
квадраты с минусом:
h(x) = (x
2
1
+ ... + x
2
s
) − (x
2
s+1
+ ... + x
2
r
). (38.16)
Взяв вектор x, все координаты которого, кроме первой, равны
нулю, а x
1
= 1, мы получим полжительное значение: h(x) = 1. Если
же выбрать вектор y, все координаты которого равны нулю, кроме
y
s+1
= 1, то получится отрицательное значение h(y) = −1.
5.2. Обратно, если форма h знакопеременна, то невозможны ни
случай t = 0, ни случай s = 0. Действительно, согласно третье-
му утверждению, обращение в нуль индекса t влечет положитель-
ную полуопределенность и, следовательно, исключает знакоперемен-
ность. (Возможность s = 0 отвергается аналогично.) ¤
Замечание 38.3. Очень важное обстоятельство: положительная
(отрицательная) определенность влечет невырожденность. Полу-
определенные (но не определенные) формы вырождены. Знакопере-
менные могут быть как невырожденными, так и вырожденными.
Замечание 38.4. Для вычисления сигнатуры и определения ха-
рактера квадратичной формы (над полем R) вовсе не обязательно
приводить ее к нормальному виду; достаточно достичь диагональ-
ного (и подсчитать количество s положительных диагональных эле-
ментов и количество t отрицательных).
Пример 38.1. Квадратичная форма из примера 36.1 имеет сиг-
натуру [2, 1], является знакопеременной и невырожденной. Переход
от полученного в примере 36.1 диагонального вида к нормальному
виду
h(x) = u
2
1
+ u
2
2
− u
2
3
осуществляется с помощью замены:
z
1
= u
1
; z
2
=
1
2
u
2
; z
3
=
1
2
u
3
.
Форма из примера 36.2 также знакопеременна и невырожденна;
ее сигнатура равна [2, 2]. Диагональный вид, полученный в этом
примере, нормализируется заменой:
y
1
= z
1
; y
2
= 2
√
5 z
3
; y
3
= 2z
4
; y
4
=
2
5
√
3 z
2
.
§ 38    Квадратичные формы над полем R . Сигнатура                 487

  4. Это утверждение переменой знака сводится к предыдущему.
  5.1. Если оба индекса инерции отличны от нуля, то в нормаль-
ном виде для формы h присутствуют как квадраты с плюсом, так и
квадраты с минусом:

             h(x) = (x21 + ... + x2s ) − (x2s+1 + ... + x2r ).   (38.16)

   Взяв вектор x, все координаты которого, кроме первой, равны
нулю, а x1 = 1, мы получим полжительное значение: h(x) = 1. Если
же выбрать вектор y, все координаты которого равны нулю, кроме
ys+1 = 1, то получится отрицательное значение h(y) = −1.
   5.2. Обратно, если форма h знакопеременна, то невозможны ни
случай t = 0, ни случай s = 0. Действительно, согласно третье-
му утверждению, обращение в нуль индекса t влечет положитель-
ную полуопределенность и, следовательно, исключает знакоперемен-
ность. (Возможность s = 0 отвергается аналогично.) ¤
   Замечание 38.3. Очень важное обстоятельство: положительная
(отрицательная) определенность влечет невырожденность. Полу-
определенные (но не определенные) формы вырождены. Знакопере-
менные могут быть как невырожденными, так и вырожденными.
  Замечание 38.4. Для вычисления сигнатуры и определения ха-
рактера квадратичной формы (над полем R) вовсе не обязательно
приводить ее к нормальному виду; достаточно достичь диагональ-
ного (и подсчитать количество s положительных диагональных эле-
ментов и количество t отрицательных).
   Пример 38.1. Квадратичная форма из примера 36.1 имеет сиг-
натуру [2, 1], является знакопеременной и невырожденной. Переход
от полученного в примере 36.1 диагонального вида к нормальному
виду
                          h(x) = u21 + u22 − u23
осуществляется с помощью замены:
                                     1          1
                  z1 = u1 ; z2 =       u2 ; z3 = u3 .
                                     2          2
   Форма из примера 36.2 также знакопеременна и невырожденна;
ее сигнатура равна [2, 2]. Диагональный вид, полученный в этом
примере, нормализируется заменой:
                          √                       2√
          y1 = z1 ; y2 = 2 5 z3 ; y3 = 2z4 ; y4 =    3 z2 .
                                                  5

Страницы