Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 489 стр.

§ 38     Квадратичные формы над полем R . Сигнатура            489

   38.4. Критерий Сильвестра положительной (отрицатель-
ной) определенности с.б.ф. (кв.ф.). Пользуясь предложением
38.1, можно выяснить характер симметрической билинейной (квад-
ратичной) формы по ее нормальному (или хотя бы — диагональ-
ному) виду. Доказываемая ниже теорема (критерий Сильвестра)
позволяет установить, является ли форма положительно (отрица-
тельно) определенной по угловым минорам матрицы, соответству-
ющей данной форме в некотором базисе. Естественно, этот метод
напрямую связан с методом Якоби диагонализации с.б.ф. (кв.ф.),
рассмотренным в п. 37.1.

  Теорема 38.1 (критерий Сильвестра). Пусть V — к.л.п. раз-
мерности n над полем R, B = [b1 , ... , bn ] — какой-либо базис в V,
f и h — соответствующие друг другу с.б.ф. и кв.ф., заданные на V ,
A — симметрическая матрица, отвечающая этим формам в базисе B,
∆i (i = 1, ... , n) — угловые миноры матрицы A. Тогда
  (1) формы f и h являются п.о. тогда и только тогда, когда все
угловые миноры положительны:
                         ∆i > 0; i = 1, ... , n;             (38.19)
  (2) формы f и h являются о.о. тогда и только тогда, когда все
гловые миноры отличны от нуля и их знаки чередуются, начиная с
минуса:
                  ∆1 < 0; ∆2 > 0; ∆3 < 0; . . .          (38.20)


   Доказательство. 1.1. Если выполнено условие (38.19), то диа-
гонализация кв.ф. h по Якоби приводит (в новом базисе) к виду
[см. (37.14)]:
                        ∆1 2 ∆2 2              ∆n 2
               h(x) =      y1 +    y2 + ... +     y ,        (38.21)
                        ∆0      ∆1            ∆n−1 n
со всеми положительными коэффициентами при квадратах. Значит,
s = n и форма h положительно определена.
   1.2. Докажем обратное утверждение. Пусть кв.ф. h является п.о.,
т. е. h(x) > 0 для любого ненулевого вектора x ∈ V.
   1.2.1. Согласно предложению 38.1, положительный индекс инер-
ции равен размерности: s = n, и, следовательно, в нормализирую-
щем базисе B0 форма h будет записываться в виде (38.14). Други-
ми словами, в базисе B0 ей будет соответствовать единичная матри-
ца: A0 = E.