Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 491 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 38 Квадратичные формы над полем R
R
R. Сигнатура 491
(k × k)-минор матрицы −A будет отличаться от соответствующе-
го минора ∆
k
(построенного по A) наличием знакового множите-
ля (−1)
k
.
По уже доказанному первому утверждению настоящей теоремы,
все угловые миноры матрицы −A положительны. Значит, угловые
миноры данной матрицы чередуются по знаку, причем первый из
них ∆
1
< 0. ¤
Пример 38.4. Предлагается следующая типовая з а д а ч а из
типового задачника. Квадратичная форма задана своей координат-
ной записью (в некотором базисе), содержащей параметр λ ∈ R:
h(x) = λx
2
1
− 2x
2
2
− 3x
2
3
+ 2x
1
x
2
− 2x
1
x
3
+ 2x
2
x
3
.
Найти все значения параметра, при которых форма h является
знакоопределенной.
Р е ш е н и е. Составим матрицу кв.ф. h:
A =
λ 1 −1
1 −2 1
−1 1 −3
.
Вычислим угловые миноры ∆
1
= λ; ∆
2
= −2λ − 1; ∆
3
= 5λ + 3 и
применим критерий Сильвестра.
Следующие две системы неравенств выражают условия положи-
тельной (отрицательной) определенности соответственно:
(1)
λ > 0;
−2λ − 1 > 0;
5λ + 3 > 0;
(2)
λ < 0;
−2λ − 1 > 0;
5λ + 3 < 0.
Система (1) имеет пустое множество решений; множеством реше-
ний (2) является полуось (−∞, −3/5).
О т в е т: форма h является о.о. при λ < −3/5; ни при каких
значениях λ она не может быть п.о.
Но "типовое" решение и "типовой" ответ, скорее всего, должны
вызвать у читателей настоящего пособия чувство неудоволетворе-
ния. (По крайней мере, автор пытался его "воспитать"; см., напри-
мер, советы и "назидателные рекомендации" в п. 41.3 пособия [A
1
].)
В самом деле, что будет при остальных значениях λ? Надо начи-
нать дополнительное и с с л е д о в а н и е.
§ 38     Квадратичные формы над полем R . Сигнатура                491

(k × k)-минор матрицы −A будет отличаться от соответствующе-
го минора ∆k (построенного по A) наличием знакового множите-
ля (−1)k .
   По уже доказанному первому утверждению настоящей теоремы,
все угловые миноры матрицы −A положительны. Значит, угловые
миноры данной матрицы чередуются по знаку, причем первый из
них ∆1 < 0. ¤
  Пример 38.4. Предлагается следующая типовая з а д а ч а из
типового задачника. Квадратичная форма задана своей координат-
ной записью (в некотором базисе), содержащей параметр λ ∈ R:

          h(x) = λx21 − 2x22 − 3x23 + 2x1 x2 − 2x1 x3 + 2x2 x3 .

  Найти все значения параметра, при которых форма h является
знакоопределенной.
  Р е ш е н и е. Составим матрицу кв.ф. h:
                                         
                            λ        1 −1
                        A= 1        −2 1  .
                           −1        1 −3

  Вычислим угловые миноры ∆1 = λ; ∆2 = −2λ − 1; ∆3 = 5λ + 3 и
применим критерий Сильвестра.
  Следующие две системы неравенств выражают условия положи-
тельной (отрицательной) определенности соответственно:
                                         
              λ        > 0;                 λ         < 0;
       (1)   −2λ    − 1 > 0;          (2)   −2λ     − 1 > 0;
                                         
              5λ    + 3 > 0;                 5λ     + 3 < 0.

  Система (1) имеет пустое множество решений; множеством реше-
ний (2) является полуось (−∞, −3/5).
  О т в е т: форма h является о.о. при λ < −3/5; ни при каких
значениях λ она не может быть п.о.
  Но "типовое" решение и "типовой" ответ, скорее всего, должны
вызвать у читателей настоящего пособия чувство неудоволетворе-
ния. (По крайней мере, автор пытался его "воспитать"; см., напри-
мер, советы и "назидателные рекомендации" в п. 41.3 пособия [A1 ].)
  В самом деле, что будет при остальных значениях λ? Надо начи-
нать дополнительное и с с л е д о в а н и е.

Страницы