Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 492 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

492 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
Нули угловых миноров как функций от λ разбивают числовую
ось, которую пробегает этот параметр, на четыре промежутка и три
особые точки:
R = (−∞, −
3
5
) ∪ {−
3
5
} ∪ (−
3
5
, −
1
2
) ∪ {−
1
2
} ∪ (−
1
2
, 0) ∪ {0} ∪ (0, ∞).
Если исключить две особые точки (−1/2 и 0), то допустимо при-
менение метода диагонализации по Якоби и получается следующий
диагональный вид:
h(x) = ∆
1
y
2
1
+
∆
2
∆
1
y
2
2
+
∆
3
∆
2
y
2
3
= λy
2
1
−
2λ + 1
λ
y
2
2
−
5λ + 3
2λ + 1
y
2
3
.
В третьей особой точке (λ = −3/5) эта формула сохраняет силу
и, превратившись в
h(x) = −
3
5
y
2
1
−
1
2
y
2
2
,
позволяет заключить, что при этом значении параметра форма h
вырождена, имеет ранг 2 и сигнатуру [0, 2], т. е. является о.п.о.
Далее, применяя хорошо знакомый "школьный" метод интерва-
лов, мы выяснем распределение знаков функций
µ
1
= λ; µ
2
= −
2λ + 1
λ
; µ
3
= −
5λ + 3
2λ + 1
на четырех рассматриваемых интервалах; результаты сводим в таб-
лицу:
Интервал Знак µ
1
Знак µ
2
Знак µ
3
Сигнатура h
(−∞, −
3
5
) − − − [0, 3]
(−
3
5
, −
1
2
) − − + [1, 2]
(−
1
2
, 0) − + − [1, 2]
(0, ∞) + − − [1, 2]
Получается, что на всех промежутках кв.ф. h невырожденна, на
первом — отрицательно определена, на остальных — знакоперемен-
на, с сигнатурой [1, 2].
492          Линейные, билинейные и квадратичные формы                       Гл. 4

   Нули угловых миноров как функций от λ разбивают числовую
ось, которую пробегает этот параметр, на четыре промежутка и три
особые точки:

 R = (−∞, − 35 ) ∪ {− 35 } ∪ (− 53 , − 12 ) ∪ {− 12 } ∪ (− 12 , 0) ∪ {0} ∪ (0, ∞).

  Если исключить две особые точки (−1/2 и 0), то допустимо при-
менение метода диагонализации по Якоби и получается следующий
диагональный вид:

                          ∆2 2 ∆3 2              2λ + 1 2 5λ + 3 2
        h(x) = ∆1 y12 +      y2 +    y3 = λy12 −       y2 −       y .
                          ∆1      ∆2               λ        2λ + 1 3

   В третьей особой точке (λ = −3/5) эта формула сохраняет силу
и, превратившись в
                               3     1
                       h(x) = − y12 − y22 ,
                               5     2
позволяет заключить, что при этом значении параметра форма h
вырождена, имеет ранг 2 и сигнатуру [0, 2], т. е. является о.п.о.
   Далее, применяя хорошо знакомый "школьный" метод интерва-
лов, мы выяснем распределение знаков функций

                                     2λ + 1          5λ + 3
                   µ1 = λ; µ2 = −           ; µ3 = −
                                       λ             2λ + 1

на четырех рассматриваемых интервалах; результаты сводим в таб-
лицу:

 Интервал           Знак µ1         Знак µ2          Знак µ3       Сигнатура h

 (−∞, − 35 )              −             −                −              [0, 3]

  (− 35 , − 12 )          −             −                +              [1, 2]

      (− 12 , 0)          −             +                −              [1, 2]

      (0, ∞)              +             −                −              [1, 2]

   Получается, что на всех промежутках кв.ф. h невырожденна, на
первом — отрицательно определена, на остальных — знакоперемен-
на, с сигнатурой [1, 2].

Страницы