Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 493 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 38 Квадратичные формы над полем R
R
R. Сигнатура 493
Остались не рассмотренными два особых значения параметра:
λ = 0 и λ = −1/2, при которых метод Якоби неприменим. Все-
гда может выручить метод Лагранжа, однако здесь проще добиться
применимости метода Якоби, произведя подходящую перестановку
переменных.
При λ = 0 матрица A имеет вид:
A =
0 1 −1
1 −2 1
−1 1 −3
;
замена переменных x
1
= z
2
; x
2
= z
1
; x
3
= z
3
равносильна одно-
временной перестановке в матрице A первого и второго столбцов, а
также — первой и второй строк, после чего получается новая мат-
рица:
A =
−2 1 1
1 0 1
1 −1 −3
,
с новыми угловыми минорами (∆
1
= −2, ∆
2
= −1 и ∆
3
= 3) и
диагональными коэффициентами (µ
1
= −2, µ
2
=
1
2
и µ
3
= −3) в
записи формы:
h(x) = −2z
2
1
+
1
2
z
2
2
− 3z
2
3
,
что опять-таки дает сигнатуру [1, 2].
Совершенно аналогично рассматривается случай λ = −
1
2
, только
здесь, чтобы "исправить" второй угловой минор, приходится пере-
ставлять первый и третий столбцы, а также — первую и третью
строки. Проделайте это самостоятельно, и вы убедитесь, что вновь
сигнатура окажется равной [1, 2].
О к о н ч а т е л ь н ы й р е з у л ь т а т исследования: при
λ < −3/5 форма отрицательно определена, при λ = −3/5 отрица-
тельно полуопределена (имеет сигнатуру [0, 2]), при всех остальных
значениях параметра — является невырожденной и знакоперемен-
ной (сигнатуры [1, 2]).
Замечание 38.5.
∗
Из критерия Сильвестра вытекает, что поло-
жительно определенная с.б.ф. f ∈ L
2
s
(V ) удовлетворяет условиям
Якоби, в связи с чем для отыскания диагонализирующего (или: f-
ортогонального; см. п. 37.3) базиса в пространстве V можно при-
менять алгоритм 37.2 (процесс ортогонализации Грама — Шмидта);
§ 38     Квадратичные формы над полем R . Сигнатура            493

  Остались не рассмотренными два особых значения параметра:
λ = 0 и λ = −1/2, при которых метод Якоби неприменим. Все-
гда может выручить метод Лагранжа, однако здесь проще добиться
применимости метода Якоби, произведя подходящую перестановку
переменных.
  При λ = 0 матрица A имеет вид:
                                      
                         0        1 −1
                     A= 1        −2 1  ;
                        −1        1 −3

замена переменных x1 =     z2 ; x2 = z1 ; x3 = z3 равносильна одно-
временной перестановке в   матрице A первого и второго столбцов, а
также — первой и второй    строк, после чего получается новая мат-
рица:                                  
                          −2      1  1
                     A=   1      0   1 ,
                           1      −1 −3
с новыми угловыми минорами (∆1 = −2, ∆2 = −1 и ∆3 = 3) и
диагональными коэффициентами (µ1 = −2, µ2 = 12 и µ3 = −3) в
записи формы:
                                1
                  h(x) = −2z12 + z22 − 3z32 ,
                                2
что опять-таки дает сигнатуру [1, 2].
   Совершенно аналогично рассматривается случай λ = − 12 , только
здесь, чтобы "исправить" второй угловой минор, приходится пере-
ставлять первый и третий столбцы, а также — первую и третью
строки. Проделайте это самостоятельно, и вы убедитесь, что вновь
сигнатура окажется равной [1, 2].
   О к о н ч а т е л ь н ы й р е з у л ь т а т исследования: при
λ < −3/5 форма отрицательно определена, при λ = −3/5 отрица-
тельно полуопределена (имеет сигнатуру [0, 2]), при всех остальных
значениях параметра — является невырожденной и знакоперемен-
ной (сигнатуры [1, 2]).
  Замечание 38.5.∗ Из критерия Сильвестра вытекает, что поло-
жительно определенная с.б.ф. f ∈ L2s (V ) удовлетворяет условиям
Якоби, в связи с чем для отыскания диагонализирующего (или: f -
ортогонального; см. п. 37.3) базиса в пространстве V можно при-
менять алгоритм 37.2 (процесс ортогонализации Грама — Шмидта);

Страницы