Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 494 стр.

494       Линейные, билинейные и квадратичные формы                    Гл. 4

при этом все знаменатели в рекуррентных формулах (37.25) будут
положительны.
   Всякую п.о. с.б.ф. f можно рассматривать как скалярное произ-
ведение на V . В этом случае понятие f -ортогональности облада-
ет всеми привычными свойствами геометрической ортогональности.
В частности (ср. с замечанием 34.8), ортогональное дополнение W ⊥
к линейному подпространству W 6 V является прямым дополнени-
ем к W :
                          V = W ⊕ W ⊥.                     (38.27)


   38.5.∗ Исследование функций на экстремум и квадратич-
ные формы. В настоящем пункте нам предстоит небольшая экскур-
сия в область математического анализа. Хотелось бы, прежде всего,
чтобы читатели прочувствовали первичную идею дифференциаль-
ного исчисления. Имя ей — линеаризация. Производная изобретена
для того, чтобы можно было приближенно заменять функцию на
линейную функцию.
   Несколько конкретнее: пусть y = f (x) является функцией дей-
ствительной переменной x, определенной и достаточно гладкой в
окрестности точки x0 . ("С запасом" будем считать, что f (x) три-
жды непрерывно дифференцируема.) Для точек x, близких к x0
(т. е. таких, что разность ∆x = x − x0 мала) имеет место представ-
ление:
                f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )∆x + α1 (x0 , ∆x), (38.28)
где функция α1 является бесконечно малой более высокого поряд-
ка малости, чем ∆x; отбрасывая ее, мы производим линеаризацию:
функция f (x0 + ∆x) (от переменной ∆x; значение x0 фиксировано, в
формулы входит как параметр) приближенно заменяется на линей-
ную (по ∆x) функцию.
   Формула линеаризации (38.28) может быть уточнена (путем лине-
аризации своей погрешности); так мы приходим к формуле Тейлора
второго порядка:

                                     1
      f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )∆x + f 00 (x0 )∆x2 + α2 (x0 , ∆x),   (38.28)
                                     2
где уже α2 является бесконечно малой более высокого порядка мало-
сти, чем ∆x2 .
   Если x0 является точкой локального экстремума для функции
f (x), то (согласно необходимому условию экстремума) производная