Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 496 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

496 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
Далее записывается формула Тейлора второго порядка:
f(x) = f(x
0
) +
n
X
i=1
f
0
x
i
(x
0
)∆x
i
+
+
1
2
n
X
i,j=1
f
00
x
i
x
j
(x
0
)∆x
i
∆x
j
+ α
2
(x
0
, ∆x) =
= f(x
0
) +
n
X
i=1
a
i
∆x
i
+
1
2
n
X
i,j=1
a
ij
∆x
i
∆x
j
+ α
2
(x
0
, ∆x), (38.31)
где фигурируют:
— линейная форма
L(x
0
, ∆x) =
n
X
i=1
a
i
∆x
i
(38.32)
от переменных ∆x
i
, кооэффициентами которой служат первые част-
ные производные данной функции в данной точке (она называется
дифференциалом, а также градиентом функции f(x) в точке x
0
);
— квадратичная форма
H(x
0
, ∆x) =
n
X
i,j=1
a
ij
∆x
i
∆x
j
(38.33)
от переменных ∆x
i
, кооэффициентами которой служат вторые част-
ные производные данной функции в данной точке; она определяется
симметрической [в силу (38.30)] матрицей A = (a
ij
)
n
i,j=1
, называе-
мой матрицей Гессе функции f(x) в точке x
0
);
— остаточный член α
2
, более высокого порядка малости, нежели
квадраты приращений; его влияние является пренебрежимым, если
квадратичная форма (матрица Гессе) невырожденна.
Необходимым условием экстремума для функции нескольких пе-
ременных является обращение в нуль всех частных производных пер-
вого порядка, или, что равносильно, тривиальность линейной фор-
мы L(x
0
, ∆x) — градиента. (Точки, в которых обращается в нуль
градиент функции, называются критическими.)
В критической точке x
0
формула (38.31) приобретает вид:
f(x) = f(x
0
) +
1
2
H(x
0
, ∆x) + α
2
(x
0
, ∆x). (38.34)
496       Линейные, билинейные и квадратичные формы                  Гл. 4

  Далее записывается формула Тейлора второго порядка:
                     n
                     X
              0
  f (x) = f (x ) +         fx0 i (x0 )∆xi +
                     i=1
            n
            X
          1
      +           fx00i xj (x0 )∆xi ∆xj + α2 (x0 , ∆x) =
          2 i,j=1
                    n
                    X             n
             0                1 X
      = f (x ) +     ai ∆xi +         aij ∆xi ∆xj + α2 (x0 , ∆x),   (38.31)
                 i=1
                              2 i,j=1

где фигурируют:
   — линейная форма
                                                 n
                                                 X
                                   0
                              L(x , ∆x) =              ai ∆xi       (38.32)
                                                 i=1

от переменных ∆xi , кооэффициентами которой служат первые част-
ные производные данной функции в данной точке (она называется
дифференциалом, а также градиентом функции f (x) в точке x0 );
   — квадратичная форма
                                              n
                                              X
                               0
                           H(x , ∆x) =                aij ∆xi ∆xj   (38.33)
                                              i,j=1

от переменных ∆xi , кооэффициентами которой служат вторые част-
ные производные данной функции в данной точке; она определяется
симметрической [в силу (38.30)] матрицей A = (aij )ni,j=1 , называе-
мой матрицей Гессе функции f (x) в точке x0 );
   — остаточный член α2 , более высокого порядка малости, нежели
квадраты приращений; его влияние является пренебрежимым, если
квадратичная форма (матрица Гессе) невырожденна.
   Необходимым условием экстремума для функции нескольких пе-
ременных является обращение в нуль всех частных производных пер-
вого порядка, или, что равносильно, тривиальность линейной фор-
мы L(x0 , ∆x) — градиента. (Точки, в которых обращается в нуль
градиент функции, называются критическими.)
   В критической точке x0 формула (38.31) приобретает вид:
                                   1
                  f (x) = f (x0 ) + H(x0 , ∆x) + α2 (x0 , ∆x).      (38.34)
                                   2

Страницы