Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 497 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 39 Задачи на диагонализацию квадратичных форм 497
Характер невырожденной критической точки x
0
(т. е. такой кри-
тической точки, в которой ранг матрицы Гессе равен n) полностью
определяется сигнатурой квадратичной формы H(x
0
, ∆x):
— если форма H положительно определена, т. е. для любого век-
тора ∆x значение H(x
0
, ∆x) > 0, то при достаточно малых ∆x имеет
место неравенство f(x) > f(x
0
) и, следовательно, x
0
является точкой
локального минимума;
— если форма H отрицательно определена, т. е. для любого век-
тора ∆x значение H(x
0
, ∆x) < 0, то при достаточно малых ∆x имеет
место неравенство f(x) < f(x
0
) и, следовательно, x
0
является точкой
локального максимума;
— если форма H знакопеременна, т. е. найдутся такие векторы ∆x
и ∆x
0
, что H(x
0
, ∆x) > 0, а H(x
0
, ∆x
0
) < 0, то в любой окрестности
точки x
0
найдутся такие точки x, x
0
, в которых значения функции
f(x) > f(x
0
) и f(x
0
) < f(x
0
), и, следовательно, x
0
не является точ-
кой экстремума.
Для различения трех указанных случаев вполне достаточным ока-
зывается критерий Сильвестра:
— если все угловые миноры матрицы Гессе положительны, то x
0
—
точка максимума;
— если их знаки чередуются, начиная с минуса, то x
0
— точка
минимума;
— если определитель матрицы Гессе (старший из угловых мино-
ров, называемый еще гессианом) отличен от нуля, но распределение
знаков угловых миноров не таково, как в двух предыдущих случаях,
или некоторые из них равны нулю, то в точке x
0
нет экстремума.
Во всех трех описанных выше случаях влияние α
2
пренебрежимо.
Это перестает быть справедливым в случае вырожденной крити-
ческой точки. Тогда требуются гораздо более тонкие и кропотливые
исследования.
§
§
§ 39. Примеры решения задач
на исследование симметрических билинейных
(квадратичных) форм
39.1. Типовой расчет по теме "Диагонализация симмет-
рических билинейных (квадратичных) форм". Ниже будет
описано индивидуальное задание (ТР3 — типовой расчет № 3) на
§ 39     Задачи на диагонализацию квадратичных форм                  497

   Характер невырожденной критической точки x0 (т. е. такой кри-
тической точки, в которой ранг матрицы Гессе равен n) полностью
определяется сигнатурой квадратичной формы H(x0 , ∆x):
   — если форма H положительно определена, т. е. для любого век-
тора ∆x значение H(x0 , ∆x) > 0, то при достаточно малых ∆x имеет
место неравенство f (x) > f (x0 ) и, следовательно, x0 является точкой
локального минимума;
   — если форма H отрицательно определена, т. е. для любого век-
тора ∆x значение H(x0 , ∆x) < 0, то при достаточно малых ∆x имеет
место неравенство f (x) < f (x0 ) и, следовательно, x0 является точкой
локального максимума;
   — если форма H знакопеременна, т. е. найдутся такие векторы ∆x
и ∆x0 , что H(x0 , ∆x) > 0, а H(x0 , ∆x0 ) < 0, то в любой окрестности
точки x0 найдутся такие точки x, x0 , в которых значения функции
f (x) > f (x0 ) и f (x0 ) < f (x0 ), и, следовательно, x0 не является точ-
кой экстремума.
   Для различения трех указанных случаев вполне достаточным ока-
зывается критерий Сильвестра:
   — если все угловые миноры матрицы Гессе положительны, то x0 —
точка максимума;
   — если их знаки чередуются, начиная с минуса, то x0 — точка
минимума;
   — если определитель матрицы Гессе (старший из угловых мино-
ров, называемый еще гессианом) отличен от нуля, но распределение
знаков угловых миноров не таково, как в двух предыдущих случаях,
или некоторые из них равны нулю, то в точке x0 нет экстремума.
   Во всех трех описанных выше случаях влияние α2 пренебрежимо.
   Это перестает быть справедливым в случае вырожденной крити-
ческой точки. Тогда требуются гораздо более тонкие и кропотливые
исследования.



              § 39. Примеры решения задач
   на исследование симметрических билинейных
              (квадратичных) форм

  39.1. Типовой расчет по теме "Диагонализация симмет-
рических билинейных (квадратичных) форм". Ниже будет
описано индивидуальное задание (ТР3 — типовой расчет № 3) на

Страницы