Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 499 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 39 Задачи на диагонализацию квадратичных форм 499
(3) продолжить вычисления пункта (1) до определения нормали-
зирующего базиса N и нормального вида квадратичной формы (см.
п. 38.1):
h(x) = η
t
Nη; ξ = T
1
η, (39.6)
где T
1
— матрица перехода от диагонализирующего базиса к норма-
лизирующему, а η — координатный столбец, отвечающий вектору x в
базисе N; вычислить также матрицу "сквозного" перехода от исход-
ного вида к нормальному, или же предъявить формулы пересчета
координат:
T
2
= T T
1
; x = T
2
η; (39.7)
(4) определить ранг r, сигнатуру [s, t] и характер (в плане знако-
определенности) данных форм f и h (см. пп. 38.1 и 38.3).
И с х о д н ы е д а н н ы е
к д е м о н с т р а ц и о н н о м у в а р и а н т у:
n = 6;
A =
4 −3 1 1 −2
−3 2 0 −1 2
1 0 3 2 1
1 −1 2 2 0
−2 2 1 0 2
.
Р е ш е н и е д е м о н с т р а ц и о н н о г о в а р и а н т а
Прежде всего укажем на то, что исходные данные могут быть
представлены иначе: в виде координатных формул (39.1). В си-
лу своей компактности, чаще используется вторая из этих записей,
имеющая в данном случае вид:
h(x) = 4x
2
1
+ 2x
2
2
+ 3x
2
3
+ 2x
2
4
+ 2x
2
5
−
− 6x
1
x
2
+ 2x
1
x
3
+ 2x
1
x
4
− 4x
1
x
5
− 2x
2
x
4
+ 4x
2
x
5
+ 4x
3
x
4
+ 2x
3
x
5
.
Разумеется, надо уметь восстанавливать запись с.б.ф., полярной
заданной кв.ф.:
f(x, y) = 4x
1
y
1
+ 2x
2
y
2
+ 3x
3
y
3
+ 2x
4
y
4
+ 2x
5
y
5
−
− 3(x
1
y
2
+ x
2
y
1
) + (x
1
y
3
+ x
3
y
1
) + (x
1
y
4
+ x
4
y
1
) −2(x
1
y
5
+ x
5
y
1
)−
− (x
2
y
4
+ x
4
y
2
) + 2(x
2
y
5
+ x
5
y
2
) + 2(x
3
y
4
+ x
4
y
3
) + (x
3
y
5
+ x
5
y
3
).
§ 39     Задачи на диагонализацию квадратичных форм                         499

   (3) продолжить вычисления пункта (1) до определения нормали-
зирующего базиса N и нормального вида квадратичной формы (см.
п. 38.1):
                     h(x) = η t N η; ξ = T1 η,            (39.6)
где T1 — матрица перехода от диагонализирующего базиса к норма-
лизирующему, а η — координатный столбец, отвечающий вектору x в
базисе N ; вычислить также матрицу "сквозного" перехода от исход-
ного вида к нормальному, или же предъявить формулы пересчета
координат:
                        T2 = T T1 ; x = T2 η;              (39.7)
  (4) определить ранг r, сигнатуру [s, t] и характер (в плане знако-
определенности) данных форм f и h (см. пп. 38.1 и 38.3).

Исходные данные
к д е м о н с т р а ц и о н н о м у в а р и а н т у:

                      n = 6;
                                               
                          4        −3    1 1 −2
                        −3        2     0 −1 2 
                                               
                     A= 1         0     3 2  1 .
                                               
                          1        −1    2 2  0
                         −2        2     1 0  2


Решение демонстрационного варианта
  Прежде всего укажем на то, что исходные данные могут быть
представлены иначе: в виде координатных формул (39.1). В си-
лу своей компактности, чаще используется вторая из этих записей,
имеющая в данном случае вид:

 h(x) = 4x21 + 2x22 + 3x23 + 2x24 + 2x25 −
− 6x1 x2 + 2x1 x3 + 2x1 x4 − 4x1 x5 − 2x2 x4 + 4x2 x5 + 4x3 x4 + 2x3 x5 .

  Разумеется, надо уметь восстанавливать запись с.б.ф., полярной
заданной кв.ф.:

  f (x, y) = 4x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 + 2x4 y4 + 2x5 y5 −
 − 3(x1 y2 + x2 y1 ) + (x1 y3 + x3 y1 ) + (x1 y4 + x4 y1 ) − 2(x1 y5 + x5 y1 )−
 − (x2 y4 + x4 y2 ) + 2(x2 y5 + x5 y2 ) + 2(x3 y4 + x4 y3 ) + (x3 y5 + x5 y3 ).

Страницы