ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
500 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
1. Приступаем к диагонализации кв.ф. h(x) методом Лагранжа.
В примере 36.1 мы рекомендовали табличный стиль оформления с
параллельным показом преобразований квадратичной формы и про-
токолированием замен переменных, что очень удобно и наглядно.
Здесь, однако, мы не сможем последовать своей рекомендации, ввиду
недостаточности книжного (и даже альбомного) формата для раз-
мещения необходимой в рассматриваемом примере таблицы.
Первое применение первого приема Лагранжа: производим груп-
пировку членов, содержащих x
1
, выносим за скобку коэффициент
при x
2
1
, в скобке выделяем полный квадрат, приводим подобные чле-
ны и выполняем первую замену переменных:
h(x) =
= 4(x
2
1
−
3
2
x
1
x
2
+
1
2
x
1
x
3
+
1
2
x
1
x
4
− x
1
x
5
)+
+ 2x
2
2
+ 3x
2
3
+ 2x
2
4
+ 2x
2
5
− 2x
2
x
4
+ 4x
2
x
5
+ 4x
3
x
4
+ 2x
3
x
5
=
= 4
¡
(x
1
−
3
4
x
2
+
1
4
x
3
+
1
4
x
4
−
1
2
x
5
)
2
−
9
16
x
2
2
−
1
16
x
2
3
−
1
16
x
2
4
−
1
4
x
2
5
+
+
3
8
x
2
x
3
+
3
8
x
2
x
4
−
3
4
x
2
x
5
−
1
8
x
3
x
4
+
1
4
x
3
x
5
+
1
4
x
4
x
5
¢
+
+ 2x
2
2
+ 3x
2
3
+ 2x
2
4
+ 2x
2
5
− 2x
2
x
4
+ 4x
2
x
5
+ 4x
3
x
4
+ 2x
3
x
5
=
= 4y
2
1
−
1
4
y
2
2
+
11
4
y
2
3
+
7
4
y
2
4
+ y
2
5
+
+
3
2
y
2
y
3
−
1
2
y
2
y
4
+ y
2
y
5
+
7
2
y
3
y
4
+ 3y
3
y
5
+ y
4
y
5
,
где
y
1
= x
1
−
3
4
x
2
+
1
4
x
3
+
1
4
x
4
−
1
2
x
5
; y
i
= x
i
(i = 2, 3, 4, 5),
или, в обратную сторону:
x
1
= y
1
+
3
4
y
2
−
1
4
y
3
−
1
4
y
4
+
1
2
y
5
; x
i
= y
i
(i = 2, 3, 4, 5).
Продолжим преобразования, повторно применяя первый прием
Лагранжа, на этот раз — к кв.ф. от переменных y
i
(i = 2, 3, 4, 5):
h(x) =
= 4y
2
1
−
1
4
(y
2
2
− 6y
2
y
3
+ 2y
2
y
4
− 4y
2
y
5
)+
+
11
4
y
2
3
+
7
4
y
2
4
+ y
2
5
+
7
2
y
3
y
4
+ 3y
3
y
5
+ y
4
y
5
=
= 4y
2
1
−
1
4
¡
(y
2
− 3y
3
+ y
4
− 2y
5
)
2
− 9y
2
3
− y
2
4
− 4y
2
5
+ 6y
3
y
4
−
− 12y
3
y
5
+ 4y
4
y
5
¢
+
11
4
y
2
3
+
7
4
y
2
4
+ y
2
5
+
7
2
y
3
y
4
+ 3y
3
y
5
+ y
4
y
5
=
= 4z
2
1
−
1
4
z
2
2
+ 5z
2
3
+ 2z
2
4
+ 2z
2
5
+ 2z
3
z
4
+ 6z
3
z
5
,
500 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
1. Приступаем к диагонализации кв.ф. h(x) методом Лагранжа.
В примере 36.1 мы рекомендовали табличный стиль оформления с
параллельным показом преобразований квадратичной формы и про-
токолированием замен переменных, что очень удобно и наглядно.
Здесь, однако, мы не сможем последовать своей рекомендации, ввиду
недостаточности книжного (и даже альбомного) формата для раз-
мещения необходимой в рассматриваемом примере таблицы.
Первое применение первого приема Лагранжа: производим груп-
пировку членов, содержащих x1 , выносим за скобку коэффициент
при x21 , в скобке выделяем полный квадрат, приводим подобные чле-
ны и выполняем первую замену переменных:
h(x) =
= 4(x21 − 32 x1 x2 + 12 x1 x3 + 12 x1 x4 − x1 x5 )+
+ 2x22 + 3x23 + 2x24 + 2x25 − 2x2 x4 + 4x2 x5 + 4x3 x4 + 2x3 x5 =
¡
= 4 (x1 − 43 x2 + 14 x3 + 14 x4 − 12 x5 )2 − 169 2
x2 − 16 1 2
x3 − 16 1 2
x4 − 14 x25 +
¢
+ 83 x2 x3 + 38 x2 x4 − 34 x2 x5 − 18 x3 x4 + 14 x3 x5 + 14 x4 x5 +
+ 2x22 + 3x23 + 2x24 + 2x25 − 2x2 x4 + 4x2 x5 + 4x3 x4 + 2x3 x5 =
= 4y12 − 14 y22 + 11 2 7 2 2
4 y3 + 4 y4 + y5 +
+ 32 y2 y3 − 1 7
2 y2 y4 + y2 y5 + 2 y3 y4 + 3y3 y5 + y4 y5 ,
где
y1 = x1 − 34 x2 + 41 x3 + 41 x4 − 12 x5 ; yi = xi (i = 2, 3, 4, 5),
или, в обратную сторону:
x1 = y1 + 34 y2 − 14 y3 − 41 y4 + 12 y5 ; xi = yi (i = 2, 3, 4, 5).
Продолжим преобразования, повторно применяя первый прием
Лагранжа, на этот раз — к кв.ф. от переменных yi (i = 2, 3, 4, 5):
h(x) =
= 4y12 − 41 (y22 − 6y2 y3 + 2y2 y4 − 4y2 y5 )+
11 2 7 2 2 7
+ 4 y3 + 4 y4 + y5 + 2 y3 y4 + 3y3 y5 + y4 y5 =
¡
= 4y12 − 14 (y2 − 3y3 + y4 − 2y5 )2 − 9y32 − y42 − 4y52 + 6y3 y4 −
¢ 2 7 2 2
− 12y3 y5 + 4y4 y5 + 11 7
4 y3 + 4 y4 + y5 + 2 y3 y4 + 3y3 y5 + y4 y5 =
= 4z12 − 14 z22 + 5z32 + 2z42 + 2z52 + 2z3 z4 + 6z3 z5 ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 498
- 499
- 500
- 501
- 502
- …
- следующая ›
- последняя »
