Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 498 стр.

498    Линейные, билинейные и квадратичные формы            Гл. 4

применение алгоритмов 36.1, 37.1, 38.1 и будет приведено подробное
решение демонстрационного варианта.
   В качестве основного поля в данном типовом расчете будет фигу-
рировать поле действительных чисел P = R, хотя первые два этапа
вычислений, использующие алгоритмы диагонализации Лагранжа и
Якоби, фактически реализуются над Q и лишь на третьем этапе,
свзанном с нормализацией, используется специфика поля R.

       Общее условие типового расчета
          п о т е м е "Д и а г о н а л и з а ц и я
        симметрических билинейных
             (к в а д р а т и ч н ы х) ф о р м"
  В n-мерном линейном пространстве V над полем R заданы (свои-
ми выражениями в некотором базисе B) соответствующие друг другу
симметрическая билинейная и квадратичная формы:

                   f (x, y) = xt Ay; h(x) = xt Ax,          (39.1)

где A — симметрическая (n × n)-матрица.
   Требуется:
   (1) определить с помощью алгоритма Лагранжа 36.1 диагонали-
зирующий базис D для указанных форм и диагональный вид (для
квадратичной формы):
                                  t
                          h(x) = ξ Dξ;                   (39.2)
искомый базис D должен быть задан матрицей перехода T от B к D,
или же — с помощью формул пересчета координат:

                              x = T ξ,                      (39.3)

выражающих старый координатный столбец x ∈ Rn через новый
ξ ∈ Rn ; вычисления следует завершить проверкой:

                            D = T t AT ;                    (39.4)

  (2) если в условиях задачи применим метод Якоби, то — повто-
рить работу, используя алгоритм 37.1:

                     h(x) = χt D0 χ; x = T 0 χ;             (39.5)

cравнить полученные двумя методами диагональные матрицы D
и D0 , а также матрицы перехода T и T 0 ;