Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 495 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 38 Квадратичные формы над полем R
R
R. Сигнатура 495
f
0
(x
0
) = 0, т. е. точка x
0
является, как говорят, критической точкой
для функции f(x).
Исследование того, имеется ли на самом деле в критической точ-
ке x
0
экстремум, может быть проведено с помощью второй произ-
водной, если только она отлична от нуля.
В случае f
00
(x
0
) > 0 критическая точка оказывается точкой ми-
нимума, а в случае f
00
(x
0
) < 0 — точкой максимума. Это объяс-
няется тем, что в невырожденной критической точке (f
0
(x
0
) = 0;
f
00
(x
0
) 6= 0) поведение правой части формулы
f(x) = f(x
0
) +
1
2
f
00
(x
0
)∆x
2
+ α
2
(x
0
, ∆x), (38.29)
при малых ∆x, полностью определяется квадратичным по ∆x чле-
ном (вне зависимости от α
2
). Скажем, если f
00
(x
0
) > 0, то вблизи x
0
будет выполняться неравенство f(x) > f(x
0
).
Иначе обстоит дело в вырожденном случае (f
00
(x
0
) = 0): здесь
требуется учет членов третьего и более высоких порядков малости.
В том, наверняка известном вам, аналитическом материале, кото-
рый бегло (и не очень строго) был изложен выше, линейная алгебра
присутствует лишь в зародыше. Скажем, член с первой производ-
ной (дифференциал) f
0
(x
0
)∆x является линейной формой, а второй
дифференциал f
00
(x
0
)∆x
2
— квадратичной формой; и все это — в од-
номерном случае (с единственной переменной ∆x).
Всё по-настоящему интересное происходит в многомерных про-
странствах. Рассмотрим достаточно гладкую (скажем, трижды не-
прерывно дифференцируемую) функцию y = f(x) от n действитель-
ных переменных x = (x
1
, x
2
, ... , x
n
), определенную в окрестности
точки x
0
= (x
0
1
, x
0
2
, ... , x
0
n
).
Рассматриваются (малые) приращения ∆x
i
= x
i
−x
0
i
(i = 1, ... , n),
составляющие вектор ∆x = (∆x
1
, ∆x
2
, ... , ∆x
n
), вычисляются все
первые и вторые частные производные от данной функции в точ-
ке x
0
:
1) a
i
= f
0
x
i
(x
0
) (i = 1, ... , n);
2) a
ij
= f
00
x
i
x
j
(x
0
) (i, j = 1, ... , n).
Про вторые смешанные производные известно, что они (при сде-
ланных предположениях) совпадают:
a
ij
= f
00
x
i
x
j
(x
0
) = f
00
x
j
x
i
(x
0
) = a
ji
. (38.30)
§ 38     Квадратичные формы над полем R . Сигнатура                  495

f 0 (x0 ) = 0, т. е. точка x0 является, как говорят, критической точкой
для функции f (x).
     Исследование того, имеется ли на самом деле в критической точ-
ке x0 экстремум, может быть проведено с помощью второй произ-
водной, если только она отлична от нуля.
     В случае f 00 (x0 ) > 0 критическая точка оказывается точкой ми-
нимума, а в случае f 00 (x0 ) < 0 — точкой максимума. Это объяс-
няется тем, что в невырожденной критической точке (f 0 (x0 ) = 0;
f 00 (x0 ) 6= 0) поведение правой части формулы

                               1
              f (x) = f (x0 ) + f 00 (x0 )∆x2 + α2 (x0 , ∆x),      (38.29)
                               2

при малых ∆x, полностью определяется квадратичным по ∆x чле-
ном (вне зависимости от α2 ). Скажем, если f 00 (x0 ) > 0, то вблизи x0
будет выполняться неравенство f (x) > f (x0 ).
  Иначе обстоит дело в вырожденном случае (f 00 (x0 ) = 0): здесь
требуется учет членов третьего и более высоких порядков малости.
  В том, наверняка известном вам, аналитическом материале, кото-
рый бегло (и не очень строго) был изложен выше, линейная алгебра
присутствует лишь в зародыше. Скажем, член с первой производ-
ной (дифференциал) f 0 (x0 )∆x является линейной формой, а второй
дифференциал f 00 (x0 )∆x2 — квадратичной формой; и все это — в од-
номерном случае (с единственной переменной ∆x).
   Всё по-настоящему интересное происходит в многомерных про-
странствах. Рассмотрим достаточно гладкую (скажем, трижды не-
прерывно дифференцируемую) функцию y = f (x) от n действитель-
ных переменных x = (x1 , x2 , ... , xn ), определенную в окрестности
точки x0 = (x01 , x02 , ... , x0n ).
   Рассматриваются (малые) приращения ∆xi = xi −x0i (i = 1, ... , n),
составляющие вектор ∆x = (∆x1 , ∆x2 , ... , ∆xn ), вычисляются все
первые и вторые частные производные от данной функции в точ-
ке x0 :
   1) ai = fx0 i (x0 ) (i = 1, ... , n);
   2) aij = fx00i xj (x0 ) (i, j = 1, ... , n).
   Про вторые смешанные производные известно, что они (при сде-
ланных предположениях) совпадают:

                   aij = fx00i xj (x0 ) = fx00j xi (x0 ) = aji .   (38.30)

Страницы