Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 490 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

490 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
Согласно правилам пересчета (34.20), матрицы A и A
0
связаны
формулой
A = S
t
A
0
S, (38.22)
где S = T
−1
является матрицей обратного перехода, от B
0
к B.
В данном случае получается: A = S
t
S. Пользуясь свойствами
определителей, находим, что
det(A) = (det(S))
2
> 0, (38.23)
а это и есть требуемое неравенство для старшего углового мино-
ра ∆
n
.
1.2.2. Попробуем теперь получить неравенство ∆
k
> 0 для произ-
вольного k = 1, ... , n−1. С этой целью рассмотрим линейное k-мерное
подпространство W
k
6 V, являющееся линейной оболочкой первых k
базисных векторов:
W
k
= hB
k
i; B
k
= [b
1
, ... , b
k
], (38.24)
и сузим (ограничим) на это подпространство с.б.ф. f и кв.ф. h, т. е.
рассмотрим функции
f
k
= f
¯
¯
W
k
×W
k
: W
k
×W
k
−→ R; f
k
(x, y) = f(x, y); x, y ∈ W
k
(38.25a)
и
h
k
= h
¯
¯
W
k
: W
k
−→ R; h
k
(x) = h(x); x ∈ W
k
, (38.25b)
которые, очевидно, также являются соответствующими друг другу
симметрической билинейной и квадратичной формами, причем —
наследующими свойство положительной определенности.
В базисе B
k
этим формам соответствует подматрица северо-запад-
ного угла A
(k )
[см. (37.1)]. Применяя к суженным формам результат
подпункта 1.2.1, получим:
∆
k
= det(A
(k)
) > 0. (38.26)
2. Как уже отмечалось, отрицательная определенность для кв.ф.
равносильна положительной определенности для противоположной
формы. Если форме h отвечает (в базисе B) матрица A, то форме −h
будет отвечать (в том же базисе) матрица −A. В силу свойства ан-
тисимметричности определителей, для любого k = 1, ... , n, угловой
490      Линейные, билинейные и квадратичные формы                 Гл. 4

  Согласно правилам пересчета (34.20), матрицы A и A0 связаны
формулой
                         A = S t A0 S,                 (38.22)
где S = T −1 является матрицей обратного перехода, от B 0 к B.
   В данном случае получается: A = S t S. Пользуясь свойствами
определителей, находим, что

                          det(A) = (det(S))2 > 0,                 (38.23)

а это и есть требуемое неравенство для старшего углового мино-
ра ∆n .
   1.2.2. Попробуем теперь получить неравенство ∆k > 0 для произ-
вольного k = 1, ... , n−1. С этой целью рассмотрим линейное k-мерное
подпространство Wk 6 V, являющееся линейной оболочкой первых k
базисных векторов:

                       Wk = hBk i ; Bk = [b1 , ... , bk ],        (38.24)

и сузим (ограничим) на это подпространство с.б.ф. f и кв.ф. h, т. е.
рассмотрим функции
         ¯
 f k = f ¯W       : Wk ×Wk −→ R; fk (x, y) = f (x, y); x, y ∈ Wk (38.25a)
          k ×Wk


и              ¯
         hk = h¯W : Wk −→ R; hk (x) = h(x); x ∈ Wk ,            (38.25b)
                   k

которые, очевидно, также являются соответствующими друг другу
симметрической билинейной и квадратичной формами, причем —
наследующими свойство положительной определенности.
  В базисе Bk этим формам соответствует подматрица северо-запад-
ного угла A(k) [см. (37.1)]. Применяя к суженным формам результат
подпункта 1.2.1, получим:

                            ∆k = det(A(k) ) > 0.                  (38.26)

  2. Как уже отмечалось, отрицательная определенность для кв.ф.
равносильна положительной определенности для противоположной
формы. Если форме h отвечает (в базисе B) матрица A, то форме −h
будет отвечать (в том же базисе) матрица −A. В силу свойства ан-
тисимметричности определителей, для любого k = 1, ... , n, угловой

Страницы