Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 488 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

488 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
(Обратите внимание на то, что здесь потребовалась перенумера-
ция переменных.)
Приведение квадратичной формы к нормальному виду, вычисле-
ние сигнатуры и определение характера формы (в плане знакоопре-
деленности или переменности) предусмотрено в качестве завершаю-
щего этапа в типовом расчете ТР3 (см. § 39).
Пример 38.2 (продолжение примеров 34.1 и 34.2). Скалярное
произведение [см. (34.7)]
f(x, y) = x
t
y =
n
X
i=1
x
i
y
i
, (38.17a)
заданное на действительном арифметическом линейном простран-
стве V = R
n
, является п.о. с.б.ф. Соответствующая кв.ф.
h(x) = x
t
x =
n
X
i=1
x
2
i
(38.17b)
интерпретируется как квадрат длины вектора.
Аналогичным образом (но уже в бесконечномерном пространстве)
можно трактовать скалярное произведение функций, определяемое
как интеграл (34.8) от произведения функций.
В качестве замены термину "длина" здесь чаще употребляется
термин "норма функции". Квадрат нормы выражается как кв.ф.
h(x(t)) =
Z
b
a
x
2
(t) dt,
положительная определенность которой должна обосновываться с
помощью свойств интегралов.
Пример 38.3 (продолжение примеров 34.3 и 35.1). Рассмотрим
на n
2
-мерном действительном линейном пространстве V = L(n, R)
с.б.ф.
f(X, Y ) = tr(X
t
· Y ); X, Y ∈ V. (38.18a)
Из формулы
h(X) = tr(X
t
· X) =
n
X
i,j=1
x
2
ij
(38.18b)
для соответствующей кв.ф. следует положительная определенность
форм f и h.
488    Линейные, билинейные и квадратичные формы            Гл. 4

  (Обратите внимание на то, что здесь потребовалась перенумера-
ция переменных.)
  Приведение квадратичной формы к нормальному виду, вычисле-
ние сигнатуры и определение характера формы (в плане знакоопре-
деленности или переменности) предусмотрено в качестве завершаю-
щего этапа в типовом расчете ТР3 (см. § 39).
  Пример 38.2 (продолжение примеров 34.1 и 34.2). Скалярное
произведение [см. (34.7)]
                                       n
                                       X
                               t
                    f (x, y) = x y =         xi yi ,      (38.17a)
                                       i=1

заданное на действительном арифметическом линейном простран-
стве V = Rn , является п.о. с.б.ф. Соответствующая кв.ф.
                                       n
                                       X
                               t
                      h(x) = x x =           x2i          (38.17b)
                                       i=1

интерпретируется как квадрат длины вектора.
  Аналогичным образом (но уже в бесконечномерном пространстве)
можно трактовать скалярное произведение функций, определяемое
как интеграл (34.8) от произведения функций.
  В качестве замены термину "длина" здесь чаще употребляется
термин "норма функции". Квадрат нормы выражается как кв.ф.
                                  Z b
                        h(x(t)) =     x2 (t) dt,
                                   a

положительная определенность которой должна обосновываться с
помощью свойств интегралов.
   Пример 38.3 (продолжение примеров 34.3 и 35.1). Рассмотрим
на n2 -мерном действительном линейном пространстве V = L(n, R)
с.б.ф.
                  f (X, Y ) = tr(X t · Y ); X, Y ∈ V.  (38.18a)
  Из формулы
                                             n
                                             X
                              t
                  h(X) = tr(X · X) =               x2ij   (38.18b)
                                         i,j=1

для соответствующей кв.ф. следует положительная определенность
форм f и h.

Страницы