Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 479 стр.

§ 38     Квадратичные формы над полем R . Сигнатура             479

и только одно из соотношений: λ < µ, λ = µ или λ > µ, причем
отношение порядка согласовано с алгебраическими действиями, что
выражается несколькими законами, типа [λ < µ] ⇒ [λ + ν < µ + ν]
(для любых λ, µ, ν ∈ R) и т. п.
   Благодаря этому, поле R относят к так называемым упорядочен-
ным полям, для которых развивается особая, интересная и важная
теория.
   Сравнение с числом нуль разбивает упорядоченное поле R на три
подмножества: множество положительных чисел R+ , одноэлемент-
ное множество {0} и множество отрицательных чисел R− . Как всем
вам хорошо и давно известно, это разбиение связано с разрешимо-
стью задачи об извлечении в R квадратного корня: действительный
квадратный корень можно извлечь только из неотрицательных чи-
сел. Этот факт допускает иное выражение: каким бы ни было нену-
левое действительное число λ, квадратный корень можно извлечь
либо из него, либо из противоположного числа −λ.
   Для теории квадратичных форм особенно существенным являет-
ся следующее свойство поля R: −1 не может быть представлена
в виде суммы квадратов. Последнее свойство берется в качестве
одного из определяющих для класса так называемых вещественно
замкнутых полей. Многое из того, что в данном и последующих
параграфах будет установлено над R, остается справедливым над
любым вещественно замкнутым полем. Подробнее об этом см., на-
пример, во всемирно знаменитом учебнике Б. Л. ван дер Вардена
"Алгебра" (М.: Наука, 1976).
   Итак, пусть V — к.л.п. размерности n над полем R, f и h — за-
данные на V и соответствующие друг другу с.б.ф. и кв.ф. Согласно
теореме Лагранжа, в пространстве V существует диагонализирую-
щий базис B, в котором данным формам отвечает матрица

                  A = diag(µ1 , µ2 , ... , µr , 0, ... , 0),   (38.1)

где r = rank(f ); µi ∈ R, µi 6= 0 (i = 1, ... , r).
   В этом базисе координатная запись кв.ф. h будет иметь следую-
щий вид:
                    h(x) = µ1 x21 + µ2 x22 + ... + µr x2r . (38.2)

   Предположим, что среди r ненулевых диагональных элементов
в матрице A имеется s положительных и t отрицательных чисел
(0 6 s, t 6 r; s + t = r).