Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 475 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 37 Диагонализация по Якоби. Метод Грама — Шмидта 475
новые веторы d
1
, ... , d
k− 1
:
d
1
= b
1
;
d
2
= b
2
− s
12
d
1
;
d
3
= b
3
− s
13
d
1
− s
23
d
2
;
...........................................................
d
n
= b
n
− s
1n
d
1
− s
2n
d
2
− ... − s
(n−1)n
d
n−1
.
(37.20)
Тот факт, что новый базис D является диагонализирующим, мо-
жет быть выражен [см. (35.11)] C
2
n
соотношениями:
f(d
i
, d
j
) = 0; 1 6 i < j 6 n, (37.21)
с помощью которых можно выразить неизвестные пока C
2
n
коэффи-
циенты s
ij
в формулах (37.20).
Делается это так. Рассмотрим j-е соотношение (j = 2, ... , n) из
системы (37.20):
d
j
= b
j
−
j−1
X
k=1
s
kj
d
k
, (37.22)
и распишем для произвольного i < j значение с.б.ф. f(b
i
, b
j
), пользу-
ясь билинейностью и симметричностью f, а также условиями (37.21):
0 = f(d
i
, d
j
) = f(d
i
, b
j
) −
j−1
X
k=1
s
kj
f(d
i
, d
k
) = f(d
i
, b
j
) − s
ij
f(d
i
, d
i
),
или, что равносильно:
s
ij
f(d
i
, d
i
) = f(d
i
, b
j
). (37.23)
В формуле (37.23) скаляр
f
(
d
i
, d
i
) =
µ
i
6
= 0 (т. к.
i < j
6
n
).
Следовательно, можно выразить неизвестный коэффициент:
s
ij
=
f(d
i
, b
j
)
f(d
i
, d
i
)
; 1 6 i < j 6 n. (37.24)
Тем самым полностью определена матрица S и, что важнее, век-
торы базиса D могут быть рекуррентно определены по следующим
формулам (с уже известными коэффициентами):
§ 37   Диагонализация по Якоби. Метод Грама — Шмидта                                        475

новые веторы d1 , ... , dk−1 :
         
          d1 = b1 ;
         
         
          d2 = b2 − s12 d1 ;
           d3 = b3 − s13 d1 − s23 d2 ;                                                  (37.20)
         
         
          ...........................................................
         
           dn = bn − s1n d1 − s2n d2 − ... − s(n−1)n dn−1 .

  Тот факт, что новый базис D является диагонализирующим, мо-
жет быть выражен [см. (35.11)] Cn2 соотношениями:

                          f (di , dj ) = 0; 1 6 i < j 6 n,                              (37.21)

с помощью которых можно выразить неизвестные пока Cn2 коэффи-
циенты sij в формулах (37.20).
   Делается это так. Рассмотрим j-е соотношение (j = 2, ... , n) из
системы (37.20):
                                 j−1
                                 X
                       dj = bj −     skj dk ,              (37.22)
                                                k=1

и распишем для произвольного i < j значение с.б.ф. f (bi , bj ), пользу-
ясь билинейностью и симметричностью f , а также условиями (37.21):

                                      j−1
                                      X
  0 = f (di , dj ) = f (di , bj ) −         skj f (di , dk ) = f (di , bj ) − sij f (di , di ),
                                      k=1

или, что равносильно:

                              sij f (di , di ) = f (di , bj ).                          (37.23)

  В формуле (37.23) скаляр f (di , di ) = µi 6= 0 (т. к. i < j 6 n).
Следовательно, можно выразить неизвестный коэффициент:

                                 f (di , bj )
                         sij =                ; 1 6 i < j 6 n.                          (37.24)
                                 f (di , di )

  Тем самым полностью определена матрица S и, что важнее, век-
торы базиса D могут быть рекуррентно определены по следующим
формулам (с уже известными коэффициентами):

Страницы