Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 473 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 37 Диагонализация по Якоби. Метод Грама — Шмидта 473
немедленно следует (для любого k = 1, ..., n) совпадение линейных
оболочек для первых k векторов старого и нового базисов:
hb
1
, b
2
, ... , b
k
i = hd
1
, d
2
, ... , d
k
i. (37.18)
Пример 37.1. Попытаемся применить метод Якоби к задаче о
диагонализации кв.ф.
h(x) = x
2
1
− 14x
2
2
− 18x
2
3
+ 5x
2
4
+
+ 2(−6x
1
x
2
− 6x
1
x
3
− 5x
1
x
4
− 14x
2
x
3
− 2x
2
x
4
− 2x
3
x
4
) = x
t
Ax,
где
A =
1 −6 −6 −5
−6 −14 −14 −2
−6 −14 −18 −2
−5 −2 −2 5
.
Вычислив угловые миноры
∆
1
= 1; ∆
2
= −50; ∆
3
= 200; ∆
4
= 96,
убеждаемся в том, что метод Якоби применим и приводит к диаго-
нальному виду
h(x) = y
2
1
− 50y
2
2
− 4y
2
3
+
12
25
y
2
4
.
Матрицу T ищем в унитреугольном виде (37.7):
T =
1 t
12
t
13
t
14
0 1 t
23
t
24
0 0 1 t
34
0 0 0 1
.
Вычислим наддиагональные элементы матричного произведения
AT (элементы, расположенные на диагонали и ниже игнорируются):
AT =
∗ t
12
− 6 t
13
− 6 t
14
− 6t
24
− 6t
34
− 5
∗ ∗ −6t
13
− 14t
23
− 14 −6t
14
− 14t
24
− 14t
34
− 2
∗ ∗ ∗ −6t
14
− 14t
24
− 18t
34
− 2
∗ ∗ ∗ ∗
.
§ 37     Диагонализация по Якоби. Метод Грама — Шмидта                     473

немедленно следует (для любого k = 1, ..., n) совпадение линейных
оболочек для первых k векторов старого и нового базисов:

                       hb1 , b2 , ... , bk i = hd1 , d2 , ... , dk i .   (37.18)


  Пример 37.1. Попытаемся применить метод Якоби к задаче о
диагонализации кв.ф.

  h(x) = x21 − 14x22 − 18x23 + 5x24 +
      + 2(−6x1 x2 − 6x1 x3 − 5x1 x4 − 14x2 x3 − 2x2 x4 − 2x3 x4 ) = xt Ax,

где
                                                   
                            1            −6 −6 −5
                          −6            −14 −14 −2 
                       A=                          .
                           −6            −14 −18 −2
                           −5            −2 −2   5
   Вычислив угловые миноры

                  ∆1 = 1; ∆2 = −50; ∆3 = 200; ∆4 = 96,

убеждаемся в том, что метод Якоби применим и приводит к диаго-
нальному виду

                                                              12 2
                       h(x) = y12 − 50y22 − 4y32 +              y .
                                                              25 4

   Матрицу T ищем в унитреугольном виде (37.7):
                                                            
                               1          t12    t13     t14
                             0            1     t23     t24 
                          T =                               .
                               0           0      1      t34
                               0           0      0       1

  Вычислим наддиагональные элементы матричного произведения
AT (элементы, расположенные на диагонали и ниже игнорируются):
                                                                   
       ∗       t12 − 6   t13         − 6    t14 − 6t24 − 6t34 − 5
     ∗           ∗    −6t13 − 14t23 − 14 −6t14 − 14t24 − 14t34 − 2 
AT =                                                               .
       ∗          ∗            ∗          −6t14 − 14t24 − 18t34 − 2
       ∗          ∗            ∗                      ∗

Страницы