Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 504 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

504 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
Вычисления дают:
h(x) = 4ξ
2
1
−
1
4
ξ
2
2
+ 5ξ
2
3
+
9
5
ξ
2
4
=
= (2ξ
1
)
2
+ (
√
5 ξ
3
)
2
+ (
3
√
5
ξ
4
)
2
− (
1
2
ξ
2
)
2
=
= η
2
1
+ η
2
2
+ η
2
3
− η
2
4
,
где
η
1
= 2ξ
1
; η
2
=
√
5 ξ
3
; η
3
=
3
√
5
ξ
4
; η
4
=
1
2
ξ
2
; η
5
= ξ
5
,
или, в обратную сторону:
ξ
1
=
1
2
η
1
; ξ
2
= 2η
4
; ξ
3
=
√
5
5
η
2
; ξ
4
=
√
5
3
η
3
; ξ
5
= η
5
.
(Еще раз обратим ваше внимание на необходимость "перереги-
страции незадействованных переменных".)
Матрица, отвечающая нормальному виду, такова:
N =
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 −1 0
0 0 0 0 0
.
Можем выписать матрицу перехода от диагонализирующего ба-
зиса D к нормализирующему N:
T
1
=
1/2 0 0 0 0
0 0 0 2 0
0
√
5/5 0 0 0
0 0
√
5/3 0 0
0 0 0 0 1
,
а также — матрицу "сквозного" перехода от исходного базиса B к N:
T
2
= T · T
1
=
1/2 2
√
5/5 −7
√
5/15 3/2 1/3
0 3
√
5/5 −8
√
5/15 2 −1/3
0
√
5/5 −
√
5/15 0 −2/3
0 0
√
5/3 0 1/3
0 0 0 0 1
.
504    Линейные, билинейные и квадратичные формы                      Гл. 4

  Вычисления дают:
                         1            9
          h(x) = 4ξ12 − ξ22 + 5ξ32 + ξ42 =
                         4            5
                            √             3         1
               = (2ξ1 )2 + ( 5 ξ3 )2 + ( √ ξ4 )2 − ( ξ2 )2 =
                                           5        2
                  2      2   2     2
               = η1 + η2 + η3 − η4 ,
где
                         √                3         1
       η1 = 2ξ1 ; η2 =       5 ξ3 ; η3 = √ ξ4 ; η4 = ξ2 ; η5 = ξ5 ,
                                           5        2
или, в обратную сторону:
                                 √             √
           1                       5             5
       ξ1 = η1 ; ξ2 = 2η4 ; ξ3 =     η2 ; ξ4 =     η3 ; ξ5 = η5 .
           2                      5             3
  (Еще раз обратим ваше внимание на необходимость "перереги-
страции незадействованных переменных".)
  Матрица, отвечающая нормальному виду, такова:
                                                  
                           1        0   0   0    0
                         0         1   0   0    0
                                                  
                     N = 0         0   1   0    0.
                                                  
                           0        0   0   −1   0
                           0        0   0   0    0

  Можем выписать матрицу перехода от диагонализирующего ба-
зиса D к нормализирующему N :
                       1/2        0     0  0          0
                      0          √0     0  2          0
                                                        
                T1 =  0           5/5 √ 0  0          0,
                                                        
                       0           0    5/3 0          0
                       0           0     0  0          1

а также — матрицу "сквозного" перехода от исходного базиса B к N :
                          √         √                  
                      1/2 2√5/5 −7√5/15 3/2 1/3
                     0 3 5/5 −8 5/15 2           −1/3 
                          √        √                   
      T2 = T · T1 = 
                     0      5/5   −√ 5/15    0   −2/3 .
                     0      0        5/3     0    1/3 
                       0     0        0       0     1

Страницы