Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 505 стр.

§ 39    Задачи на диагонализацию квадратичных форм           505

  4. Ранг, сигнатура и характер заданных форм могут быть названы
сразу после завершения первого этапа (диагонализации):
  — ранг с.б.ф. f (кв.ф. h) равен 4, и, следовательно, эти формы
вырождены;
  — сигнатура равна [3, 1], и, следовательно, формы являются зна-
копеременными.
  В о т в е т можно включить:
  — диагональный вид для кв.ф. h и соответствующую ему матри-
цу D;
  — нормальный вид для h и соответствующую матрицу N ;
  — матрицы перехода T , T1 и T2 , связывающие исходный базис с
диагонализирующим и нормализирующим, а также (в развернутой
записи) формулы пересчета координатных столбцов:

                   x = T ξ; ξ = T1 η; x = T2 η;

  — ранг, индексы инерции (сигнатуру) и заключение о характере
форм.
   39.2. Пакет Maple-процедур для решения ТР3. В пакете
LinearAlgebra не предусмотрено команд, специально ориентирован-
ных на работу с симметрическими билинейными (квадратичными)
формами. Диагонализация по Лагранжу (Якоби) даже не упомина-
ется. Разумеется, пользователями системы сочинены (и могут быть
найдены в сети) недостающие процедуры. Автор настоящего посо-
бия остается верен "сценарной" методике.
   Цель не в том, чтобы написать Maple-процедуру приведения с.б.ф.
(кв.ф.) к диагональному виду, а в том, чтобы представить пользо-
вателям системы алгоритм (открытый для программного совершен-
ствования).
   В прил. 1 (п. 3) вашему вниманию предлагается небольшой Maple-
пакет Quadro, содержащий три процедуры:
   — процедуру Lagr, позволяющую привести любую квадратичную
форму к диагональному виду, или, что равносильно, вычислить диа-
гональную матрицу, конгруэнтную данной симметрической квадрат-
ной матрице;
   — процедуру Jacob, решающую аналогичную задачу в том специ-
альном случае, когда матрица квадратичной формы удовлетворяет
условиям Якоби;
   — процедуру Signatura, нормализирующую диагональный вид
квадратичной формы (над полем R), вычисляющую сигнатуру этой