Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 507 стр.

§ 40        Одновременная диагонализация двух форм                         507

ца и следующая координатная запись:

 g(x, y) = xt · y = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn ; x, y ∈ V ; n = dim(V ). (40.1)

   Мы уже встречались с такого вида с.б.ф. в нескольких примерах,
начиная с 34.1 [см. формулу (34.7)]. Форма (40.1) обладает всеми
свойствами скалярного произведения (и — в геометрии — так и на-
зывается).
   Пространство (над полем R) с фиксированной в нем п.о. с.б.ф.
(скалярным произведением) принято называть евклидовым. Обычно
у фиксированной формы "отбрасывают имя", т. е. исключают из
записи букву g, оставляя для скалярного произведения "скобочное"
обозначение (x, y).
   Соответствующая квадратичная форма q(x) = g(x, x) (или — про-
сто (x, x), если отбрасывается имя) имеет в нормализирующем базисе
координатную запись

                 q(x) = xt · x = x21 + x22 + ... + x2n ; x ∈ V           (40.2)

и интерпретируется как квадрат длины (нормы) вектора x (мы уже
упоминали об этомp в примере 38.2). Длина вектора определяется
формулой |x| = (x, x); она строго положительна для всякого нену-
левого x.
   В евклидовом пространстве два вектора называются ортогональ-
ными, если их скалярное произведение равно нулю. Точнее было бы
говорить о g-ортогональности (см. замечаниие 34.8), явно указывая
ту с.б.ф., которая задает евклидову геометрию пространства. Но
в ситуации, когда эта форма раз и навсегда зафиксирована, надоб-
ность в подобных уточнениях отпадает.
   Ортогональное дополнение W ⊥ (см. замечания 34.8 и 38.5) к ли-
нейному подпространству W в евклидовом пространстве V состоит
из векторов, ортогональных всем векторам из W. В силу невырож-
денности g, ортогональным ко всему пространству V является толь-
ко нулевой вектор: V ⊥ = O.
   Для любого W 6 V имеет место ортогональное прямое разложе-
ние [см. (38.27)]: V = W ⊕ W ⊥ .
   (Независимость подпространств W и W ⊥ обосновывается так: ес-
ли вектор x принадлежит пересечению W ∩ W ⊥ , то он сам себе ор-
тогонален, g(x, x) = 0, что, в силу положительной определенности
формы g, влечет равенство x = 0.)