Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 508 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

508 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
Базис B = [b
1
, ... , b
n
] в евклидовом пространстве называется ор-
тогональным базисом (о.б.), если
(b
i
, b
j
) = 0; 1 6 i < j 6 n; (40.3)
ср. с замечанием 35.5, согласно которому ортогональность (или, если
уточнять имя формы, — g-ортогональность) базиса B равносильна
тому факту, что B диагонализирует форму g.
Нормализирующий базис является частным случаем диагонали-
зирующего, его определение получается, если к соотношениям (40.3)
добавить условия
(b
i
, b
i
) = 1; i = 1, ... , n (40.4)
нормированности базисных векторов, геометрический смысл кото-
рых состоит в следующем: все базисные векторы имеют единичную
длину (норму). Используется геометрический термин ортонормиро-
ванный базис (о.н.б.), синонимичный (в рассматриваемой ситуации)
алгебраическому термину "нормализирующий базис".
Произвольный базис в евклидовом пространстве можно "пере-
строить" в ортогональный, следуя алгоритму Грама — Шмидта (см.
п. 37.2). Затем полученный о.б. можно "пронормировать" (т. е. поде-
лить каждый из базисных векторов на его длину, в результате чего
длина нового вектора станет единичной). В итоге мы придем к о.н.б.
Координаты произвольного вектора x =
P
n
i=1
x
i
b
i
евклидовова
пространства V в ортогональном базисе B могут быть найдены по
замечательно простым формулам, называемым формулами Фурье:
x
j
=
(x, b
j
)
(b
j
, b
j
)
; j = 1, ... , n. (40.5)
В самом деле, умножая скалярно обе части координатного вы-
ражения для вектора x на базисный вектор b
j
и пользуясь (40.3),
мы приходим к равенству (x, b
j
) = x
j
(b
j
, b
j
), в котором (b
j
, b
j
) > 0
(в силу положительной определенности скалярного произведения).
В случае ортонормированности B формулы (40.5) еще упрощаются:
x
j
= (x, b
j
); j = 1, ... , n. (40.5
0
)
508     Линейные, билинейные и квадратичные формы                  Гл. 4

  Базис B = [b1 , ... , bn ] в евклидовом пространстве называется ор-
тогональным базисом (о.б.), если

                       (bi , bj ) = 0; 1 6 i < j 6 n;              (40.3)

ср. с замечанием 35.5, согласно которому ортогональность (или, если
уточнять имя формы, — g-ортогональность) базиса B равносильна
тому факту, что B диагонализирует форму g.
   Нормализирующий базис является частным случаем диагонали-
зирующего, его определение получается, если к соотношениям (40.3)
добавить условия
                        (bi , bi ) = 1; i = 1, ... , n       (40.4)

нормированности базисных векторов, геометрический смысл кото-
рых состоит в следующем: все базисные векторы имеют единичную
длину (норму). Используется геометрический термин ортонормиро-
ванный базис (о.н.б.), синонимичный (в рассматриваемой ситуации)
алгебраическому термину "нормализирующий базис".
   Произвольный базис в евклидовом пространстве можно "пере-
строить" в ортогональный, следуя алгоритму Грама — Шмидта (см.
п. 37.2). Затем полученный о.б. можно "пронормировать" (т. е. поде-
лить каждый из базисных векторов на его длину, в результате чего
длина нового вектора станет единичной). В итоге мы придем к о.н.б.
                                            Pn
   Координаты произвольного вектора x =       i=1 xi bi евклидовова
пространства V в ортогональном базисе B могут быть найдены по
замечательно простым формулам, называемым формулами Фурье:

                              (x, bj )
                       xj =              ; j = 1, ... , n.         (40.5)
                              (bj , bj )

   В самом деле, умножая скалярно обе части координатного вы-
ражения для вектора x на базисный вектор bj и пользуясь (40.3),
мы приходим к равенству (x, bj ) = xj (bj , bj ), в котором (bj , bj ) > 0
(в силу положительной определенности скалярного произведения).
В случае ортонормированности B формулы (40.5) еще упрощаются:

                        xj = (x, bj ); j = 1, ... , n.             (40.50 )

Страницы