Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 510 стр.

510     Линейные, билинейные и квадратичные формы               Гл. 4

геометрии уже сейчас? Тогда, помимо наших стандартных учеб-
ников (см. список литературы), вам можно порекомендовать загля-
нуть в захватывающие геометрические сочинения, такие, например,
как книга В. В. Прасолова и В. М. Тихомирова "Геометрия" (М.:
МЦНМО, 1997), написанная для первокурсников уникального учеб-
ного заведения — Независимого Московского университета.)
   40.3. Линейный изоморфизм между пространствами л.э.
и б.ф., определяемый с помощью невырожденной с.б.ф. Ес-
ли g есть билинейная форма, заданная на линейном пространстве V ,
а ϕ является линейным эндоморфизмом, действующим в V , то фор-
мула
                   fϕ (x, y) = g(x, ϕ(y)); x, y ∈ V       (40.7)
снова определяет билинейную форму на V (проверка билинейно-
сти fϕ — простейшее упражнение).
  Так возникает отображение
              ξg : L(V ) −→ L2 (V ); ϕ 7→ fϕ ; ϕ ∈ L(V );       (40.8)
доказательство его линейности — еще один повод проверить, на-
сколько вы владеете основным понятием нашего курса.

  Предложение 40.2. Если g является невырожденной с.б.ф., то
линейный гомоморфизм (40.8) является линейным изоморфизмом.
   Доказательство. Докажем, что ядро Ker(ξg ) тривиально. Пусть
ϕ ∈ Ker(ξg ), т. е. fϕ = ξg (ϕ) = 0, что равносильно обращению в нуль
всех значений fϕ (x, y), для любых векторов x, y ∈ V . В соответствии
с (40.7), это равносильно утверждению:
                     g(x, ϕ(y)) = 0 (∀ x, y ∈ V ),              (40.9)
или, по определению ортогонального дополнения:
                        ϕ(y) ∈ V ⊥ (∀ y ∈ V ).                 (40.10)
  Однако, в силу невырожденности g, имеем: V ⊥ = O; так что
ϕ(y) = 0 (для любого y) и, следовательно, ϕ = o.
  Тривиальность ядра доказана. Значит, ξg — мономорфизм, а с
учетом равенства размерностей
                   dim(L(V )) = dim(L2 (V )) = n2 ,            (40.11)
— изоморфизм. ¤
  Выберем произвольный базис B = [b1 , ... , bn ] в пространстве V .