Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 511 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 40 Одновременная диагонализация двух форм 511
Предложение 40.3. Пусть в базисе B билинейной форме g отве-
чает матрица G, а линейному эндоморфизму ϕ — матрица A. Тогда
билинейной форме f
ϕ
= ξ
g
(ϕ) будет отвечать матрица
F
ϕ
= G · A. (40.12)
Доказательство сводится к следующей выкладке:
[F
ϕ
]
ij
= f
ϕ
(b
i
, b
j
) = g(b
i
, ϕ(b
j
)) =
= g(b
i
,
n
X
k=1
a
kj
b
k
) =
n
X
k=1
a
kj
g(b
i
, b
k
) =
n
X
k=1
g
ik
a
kj
= [G · A]
ij
. ¤
40.4. Самосопряженные л.э. и их матрицы. Выясним, какие
линейные эндоморфизмы отвечают при изоморфном соответствии ξ
g
симметрическим билинейным формам.
Предложение 40.4. Если g является невырожденной с.б.ф. на
линейном пространстве V, то билинейная форма f
ϕ
является симмет-
рической тогда и только тогда, когда л.э. ϕ удовлетворяет условию:
g(ϕ(x), y) = g(x, ϕ(y)) (∀x, y ∈ V ). (40.13)
Доказательство практически очевидно: если расписать условие
симметричности б.ф. (40.7), то, с учетом предполагаемой симмет-
ричности формы g, оно приобретет вид (40.13). ¤
Проанализируем смысл соотношения (40.13). Обращаясь еще раз
к замечанию 34.8, напомним, что задание на линейных простран-
ствах V и W невырожденных симметрических билинейных форм,
f и g соответственно, позволяет сопоставить всякому линейному опе-
ратору ϕ : V → W линейный оператор ϕ
?
: W → V, называемый
(f, g)-сопряженным к ϕ и связанный с ϕ соотношением:
g(ϕ(x), y) = f(x, ϕ
?
(y)) (∀x ∈ V, y ∈ W ). (40.14)
В данном случае: W = V, g = f и рассматривается линейный
эндоморфизм ϕ : V → V . Формула (40.14) приобретает вид
g(ϕ(x), y) = g(x, ϕ
?
(y)) (∀x, y ∈ V ) (40.15)
§ 40         Одновременная диагонализация двух форм                                       511

  Предложение 40.3. Пусть в базисе B билинейной форме g отве-
чает матрица G, а линейному эндоморфизму ϕ — матрица A. Тогда
билинейной форме fϕ = ξg (ϕ) будет отвечать матрица

                                        Fϕ = G · A.                                    (40.12)

   Доказательство сводится к следующей выкладке:

  [Fϕ ]ij = fϕ (bi , bj ) = g(bi , ϕ(bj )) =
                   n
                   X                  n
                                      X                         n
                                                                X
        = g(bi ,         akj bk ) =         akj g(bi , bk ) =         gik akj = [G · A]ij . ¤
                   k=1                k=1                       k=1



  40.4. Самосопряженные л.э. и их матрицы. Выясним, какие
линейные эндоморфизмы отвечают при изоморфном соответствии ξg
симметрическим билинейным формам.

  Предложение 40.4. Если g является невырожденной с.б.ф. на
линейном пространстве V, то билинейная форма fϕ является симмет-
рической тогда и только тогда, когда л.э. ϕ удовлетворяет условию:

                      g(ϕ(x), y) = g(x, ϕ(y)) (∀ x, y ∈ V ).                           (40.13)


  Доказательство практически очевидно: если расписать условие
симметричности б.ф. (40.7), то, с учетом предполагаемой симмет-
ричности формы g, оно приобретет вид (40.13). ¤
   Проанализируем смысл соотношения (40.13). Обращаясь еще раз
к замечанию 34.8, напомним, что задание на линейных простран-
ствах V и W невырожденных симметрических билинейных форм,
f и g соответственно, позволяет сопоставить всякому линейному опе-
ратору ϕ : V → W линейный оператор ϕ? : W → V, называемый
(f, g)-сопряженным к ϕ и связанный с ϕ соотношением:

                   g(ϕ(x), y) = f (x, ϕ? (y)) (∀ x ∈ V, y ∈ W ).                       (40.14)

  В данном случае: W = V, g = f и рассматривается линейный
эндоморфизм ϕ : V → V . Формула (40.14) приобретает вид

                      g(ϕ(x), y) = g(x, ϕ? (y)) (∀ x, y ∈ V )                          (40.15)

Страницы