Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 512 стр.

512    Линейные, билинейные и квадратичные формы            Гл. 4

и однозначно определяет g-сопряженный л.э.

                           ϕ? : V −→ V.                    (40.16)

   Это определение можно пересказать несколько подробнее, со
ссылкой на известный изоморфизм Риса [см. (34.39)] g ] : V → V ∗ :
при любом y ∈ V левая часть (40.15) является линейной формой
на V , для которой, ввиду наличия указанного изоморфизма, суще-
ствует однозначно определенный вектор, обозначаемый ϕ? (y), такой,
что (для любого x ∈ V ) справедливо равенство (40.15).
   Используя понятие g-сопряженного л.э., можно истолковать усло-
вие (40.13) как равенство
                              ϕ? = ϕ.                      (40.17)
   Линейные эндоморфизмы, удовлетворяющие (40.17), можно на-
звать g-самосопряженными. Пересказ в этих терминах предложе-
ния 40.4 выглядит следующим образом.

   Предложение 40.40 . Если с.б.ф. g невырожденна, то симмет-
ричность билинейной формы fϕ равносильна g-самосопряженности
л.э. ϕ. ¤
  Таким образом, линейный изморфизм (40.8) сужается до (так же
обозначаемого) линейного изоморфизма
                                    ∼
                                    =
                       ξg : Ls (V ) −→ L2s (V )             (40.80 )

линейного пространства g-самосопряженных линейных эндоморфиз-
мов (мы обозначили его Ls (V )) на линейное пространство симмет-
рических билинейных форм. В частности, оба этих пространства
имеют размерность, равную n(n + 1)/2.
   В данном и предыдущем пунктах мы несколько уклонились (в сто-
рону большей общности) от обрисованной в пп. 40.1 и 40.2 "евкли-
довой" ситуции. Сейчас мы снова возвращаемся к ней, т. е. пред-
полагаем, что с.б.ф. g не только невырожденна, но и положительно
определена, причем — зафиксирована. Так что можно отказаться от
ее постоянного упоминания в тексте и в обозначениях. Префикс ’g-’
будет далее опускаться; так, например, условие самосопряженности
(40.13) будет представляться в виде:

                 (ϕ(x), y) = (x, ϕ(y)) (∀ x, y ∈ V ).     (40.130 )