Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 514 стр.

514        Линейные, билинейные и квадратичные формы                       Гл. 4

  40.5. Спектральные свойства самососопряженных линей-
ных эндоморфизмов. Прежде всего отметим важное свойство ин-
вариантых подпространств.

  Предложение 40.6. Ортогональное дополнение к инвариантно-
му подпространству для самосопряженного л.э. само является инва-
риантным подпространством.
  Доказательство легко выводится из формулы (40.130 ). Пусть ли-
нейное подпространство W 6 V инвариантно относительно самосо-
пряженного л.э. ϕ ∈ L(V ), т. е. ϕ(y) ∈ W для любого y ∈ W. Возьмем
любой вектор x ∈ W ⊥ . Имеем: (x, y) = 0 для любого y ∈ W. Следо-
вательно, (ϕ(x), y) = (x, ϕ(y)) = 0, т. е. ϕ(x) ∈ W ⊥ . ¤
  Рассмотрим теперь собственную сумму для ϕ, т. е. (см. п. 19.2) —
прямую сумму всех собственных подпространств:
                                               s
                                               M
                                 0
                             W = S(ϕ) =              Wi ,                 (40.19)
                                               i=1

где Wi = Sλi (ϕ) — собственное подпространство, отвечающее соб-
ственному значению λi ; собственные значения составляют спектр
                             σ(ϕ) = {λ1 , λ2 , ... , λs },                (40.20)
являющийся подмножеством в поле R. (В принципе, не исключается,
что спектр является пустым; тогда подпространство W 0 считается
тривиальным: W 0 = O.)
  Как известно, (40.19) является ϕ-инвариантным подпространст-
вом, содержащим все собственные векторы для ϕ. В случае самосо-
пряженности л.э. собственная сумма оказывается не только прямой,
но и ортогональной; точнее, справедливо следующее

  Предложение 40.7. Любые два различных собственных под-
пространства для самосопряженного л.э. ортогональны между со-
бой.
   Доказательство. Пусть векторы x и y принадлежат двум различ-
ным собственным подпространствам: x ∈ Sλi (ϕ), т. е. ϕ(x) = λi x, а
y ∈ Sλj (ϕ), т. е. ϕ(y) = λj y, причем λi 6= λj . В следующей выклад-
ке используются лишь свойства скалярного произведения и условие
самосопряженности (40.130 ):
      λi (x, y) = (λi x, , y) = (ϕ(x), y) = (x, ϕ(y)) = (x, λj y) = λj (x, y).