Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 515 стр.

§ 40       Одновременная диагонализация двух форм              515

   Приходим к равенству (λi − λj )(x, y) = 0, в котором первый мно-
житель отличен от нуля и, следовательно, второй — равен нулю:
(x, y) = 0. Значит, векторы x и y ортогональны, что и требовалось. ¤
   Теперь мы подступаем к самому главному. Все утверждения о
структуре и свойствах собственной суммы могут оказаться совер-
шенно бесполезными, если не гарантирована ее нетривиальность.
Спектр л.э. ϕ, действующего в действительном линейном простран-
стве V , может оказаться пустым, что как раз и приводит к триви-
альности подпространства S(ϕ).
   В случае самосопряженного л.э. непустоту спектра и нетривиаль-
ность собственной суммы гарантировать можно. Залогом этого слу-
жит следующая

   Теорема 40.1. Cамосопряженный л.э. ϕ, действующий в n-мер-
ном евклидовом пространстве V , имеет непустой спектр. Более того,
его характеристический многочлен hϕ (λ) имеет (с учетом кратно-
стей) ровно n действительных корней.
   Доказательство. Во многих случаях доказательство "действи-
тельных" (справедливых над R) фактов требует "выхода в комплекс-
ную область", с последующим возвратом в действительную.
   Пусть в n-мерном евклидовом пространстве V действует самосо-
пряженный л.э. ϕ. Выбрав в V какой-либо о.н.б. B, сопоставим этому
эндоморфизму симметрическую (согласно предложению 40.5) мат-
рицу A. Спектр σ(ϕ), т. е. множество собственных значений для ϕ,
совпадает (см. предложение 17.3) со спектром σ(A) = σR (A) матри-
цы A, состоящим из всех действительных корней характеристиче-
ского многочлена hA (λ) ∈ R[λ].
   Согласно общей теории многочленов над R (см. [A1 , § 43]), этот
многочлен имеет (с учетом кратностей) ровно n корней в поле ком-
плексных чисел C, причем недействительные корни встречаются
попарно: вместе с корнем λ0 = α + iβ (β 6= 0) имеется сопряженный
       f0 = α − iβ, такой же кратности. (В очередной раз нам при-
корень λ
ходится прибегать к обозначению тильдой операции комплексного
сопряжения, поскольку черта используется в обозначениях арифме-
тических векторов.)
   Докажем, что в данном случае недействительных корней не будет.
Множество σC (A) всех комплексных характеристических корней для
матрицы A непусто (ввиду алгебраической замкнутости поля C) и
может рассматриваться как спектр комплексифицированного линей-