Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 516 стр.

516     Линейные, билинейные и квадратичные формы              Гл. 4

ного эндоморфизма χ = ϕC , действующего в комплексифицирован-
ном линейном пространстве V C = V ⊕ iV [см. п. 27.4; напомним, что
это пространство состоит из "комплексных векторов" z = x + iy, где
x, y ∈ V , на которые комплексифицированный оператор действует
по формуле χ(z) = ϕ(x) + iϕ(y)]. Исходное пространство V вклады-
вается в свою комплексификацию V C в качестве вещественного под-
пространства; произвольный базис B пространства V также можно
считать расположенным в комплексификации и рассматривать как
ее базис над C; в этом (вложенном) базисе оператору χ отвечает та
же самая матрица A, которая соответствовала оператору ϕ в исход-
ном базисе; действие χ на вещественные векторы совпадает с дей-
ствием ϕ.
   Мы хотим доказать, что σC (A) = σR (A). Предположим противное
и рассмотрим произвольный невещественный элемент

                   λ0 = α + iβ ∈ σC (χ) = σC (A),             (40.21)

а также произвольный собственный вектор z ∈ V C , отвечающий соб-
ственному значению λ0 . В вещественном базисе B вектор z изобража-
ется арифметическим вектором z ∈ Cn , удовлетворяющим условиям

                         A z = λ0 z; z 6= 0.                  (40.22)

   Собственное подпространство для χ, отвечающее сопряженному
собственному значению λ  f0 , состоит из векторов ze = x − iy, сопря-
женных собственным векторам, отвечающим λ0 . (Это объяснялось
в п. 27.4, причем даже в большей общности — применительно к кор-
невым векторам.) Применяя операцию комплексного сопряжения
(которая, как известно, согласована со всеми алгебраическими дей-
ствиями) к матричному равенству (40.22) и пользуясь тем, что, в си-
лу вещественности, A e = A, мы получим соотношение

                             Ae f0 e
                              z=λ  z.                         (40.23)

  Транспонируя (40.23) и пользуясь симметричностью A, получаем:

                           e      f0 e
                           z tA = λ  z t.                     (40.24)

   Комплексное сопряжение векторов-столбцов (-строк) осуществля-
ется покомпонентно; в дальнейших рассуждениях нам понадобятся