Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 517 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 40 Одновременная диагонализация двух форм 517
следующие формулы:
z =
z
1
z
2
...
z
n
;
e
z =
ez
1
ez
2
...
fz
n
;
e
z
t
= ( ez
1
ez
2
... fz
n
) ;
e
z
t
· z = ez
1
z
1
+ ez
2
z
2
+ ... + fz
n
z
n
= |z
1
|
2
+ |z
2
|
2
+ ... + |z
n
|
2
,
последняя сумма является (в силу того, что z 6= 0) положительным
действительным числом.
В следующей цепочке преобразований, помимо ассоциативного за-
кона для матричного умножения, используются лишь соотношения
(40.22) и (40.24):
f
λ
0
(
e
z
t
·z) = (
f
λ
0
e
z
t
) ·z = (
e
z
t
·A)z =
e
z
t
(A ·z) =
e
z
t
·(λ
0
z) = λ
0
(
e
z
t
·z).
В итоге получается равенство:
(
f
λ
0
− λ
0
) · (
e
z
t
· z) = 0. (40.25)
Второй сомножитель в левой части (40.25) отличен от нуля (явля-
ется положительным действительным числом); следовательно, пер-
вый сомножитель является нулевым, т. е.
f
λ
0
= λ
0
, что противоречит
предположению о невещественности λ
0
.
Итак, для самосопряженного л.э., действующего в евклидовом
пространстве, доказана непустота спектра (и даже более сильное
свойство, которое можно выразить следующим образом: сумма m
0
алгебраических кратностей всех собственных значений равна раз-
мерности n данного пространства). ¤
Следующим нашим шагом будет доказательство того, что n
0
(сум-
ма геометрических кратностей) также равняется n.
40.6. Ортогональная диагонализируемость самосопряжен-
ного л.э. В данном пункте мы установим, что любой самосопряжен-
ный л.э. является диагонализируемым, причем будет получена важ-
нейшая дополнительная информация о возможности специального
выбора диагонализирующего базиса, с использованием евклидовой
структуры пространства.
§ 40          Одновременная диагонализация двух форм                            517

следующие формулы:
                        
               z1           ze1
              z         ze    t
          z =  2 ; e
                     z =  2 ; e
                                z = ( ze1                  ze2   ... zf
                                                                      n );
               ...          ...
               zn          zf n
        e t                                          2       2             2
        z · z = ze1 z1 + ze2 z2 + ... + zf
                                         n zn = |z1 | + |z2 | + ... + |zn | ,


последняя сумма является (в силу того, что z 6= 0) положительным
действительным числом.
   В следующей цепочке преобразований, помимо ассоциативного за-
кона для матричного умножения, используются лишь соотношения
(40.22) и (40.24):

f0 (e
λ               f0 e
    z t · z) = (λ  z t ) · z = (e
                                z t · A)z = e
                                            z t (A · z) = e
                                                          z t · (λ0 z) = λ0 (e
                                                                             z t · z).

   В итоге получается равенство:

                              f0 − λ0 ) · (e
                             (λ            z t · z) = 0.                     (40.25)

   Второй сомножитель в левой части (40.25) отличен от нуля (явля-
ется положительным действительным числом); следовательно, пер-
                                        f0 = λ0 , что противоречит
вый сомножитель является нулевым, т. е. λ
предположению о невещественности λ0 .
   Итак, для самосопряженного л.э., действующего в евклидовом
пространстве, доказана непустота спектра (и даже более сильное
свойство, которое можно выразить следующим образом: сумма m0
алгебраических кратностей всех собственных значений равна раз-
мерности n данного пространства). ¤
  Следующим нашим шагом будет доказательство того, что n0 (сум-
ма геометрических кратностей) также равняется n.
  40.6. Ортогональная диагонализируемость самосопряжен-
ного л.э. В данном пункте мы установим, что любой самосопряжен-
ный л.э. является диагонализируемым, причем будет получена важ-
нейшая дополнительная информация о возможности специального
выбора диагонализирующего базиса, с использованием евклидовой
структуры пространства.

Страницы