Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 519 стр.

§ 40      Одновременная диагонализация двух форм             519

   40.7. Ортогональная диагонализация (приведение к глав-
ным осям) с.б.ф. в евклидовом пространстве. Начав в п. 40.1
с задачи об одновременной диагонализации двух с.б.ф., мы перешли
в п. 40.3 к рассмотрению самосопряженных л.э. и доказали в п. 40.6
их диагонализируемость в ортонормированных базисах. Теперь мы
возвращаемся к формам.

   Теорема 40.3. Для любой симметрической билинейной формы
в конечномерном евклидовом пространстве, существует ортонорми-
рованный диагонализирующий базис.
  Доказательство. Пусть f (x, y) является симметрической били-
нейной формой на конечномерном евклидовом пространстве V.
  В соответствии с предложениями 40.2 и 40.40 , с помощью поло-
жительно определенной с.б.ф. g(x, y) = (x, y), задающей скалярное
произведение на V , форме f однозначно сопоставляется самосопря-
женный л.э. ϕ, такой, что f = fϕ = ξg (ϕ), т. е.

                        f (x, y) = (x, ϕ(y))               (40.29)

для любых x, y ∈ V.
   По теореме 40.2, для ϕ существует диагонализирующий о.н.б. B.
По предложению 40.5, в любом о.н.б. матрицы с.б.ф. f и соответ-
ствующего л.э. ϕ совпадают. Так что B будет диагонализирующим
базисом и для f . ¤
  Вспоминая о том, что ортонормированный базис в евклидовом
пространстве является нормализирующим (и, в частности, диагона-
лизирующим) для п.о. с.б.ф., задающей евклидову структуру, мы
можем переформулировать теорему 40.3 так, чтобы геометрия в ней
"не звучала".

   Теорема 40.30 . Любые две симметрические билинейные формы
на действительном к.л.п., одна из которых положительно определе-
на, имеют общий диагонализирующий базис. ¤
   По традиции продолжает использоваться несколько иная, при-
шедшая из классических геометрических трактатов, терминология:
ортогональная диагонализация именуется приведением к главным
осям. Задача о приведении к главным осям симметрической били-
нейной (квадратичной) формы на евклидовом пространстве может
быть описана на матричном языке. Считается заданным исходный