Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 520 стр.

520    Линейные, билинейные и квадратичные формы           Гл. 4

ортонормированный базис B, в котором с.б.ф. f (кв.ф. h) соответ-
ствует симметрическая квадратная матрица A. Требуется найти та-
кой о.н.б. D, в котором указанным формам соответствовала бы диа-
гональная матрица D (также подлежащая определению).
   Искомый о.н.б. D однозначно определяется матрицей перехода U
от B к D. В силу предложения 40.1, эта матрица обязана быть ор-
тогональной (U −1 = U t ).
   Таким образом, по симметрической матрице A подлежат опреде-
лению диагональная матрица D и ортогональная матрица U , такие,
что
                             D = U t AU.                  (40.30)

  Ниже будет (схематически) описан алгоритм, решающий постав-
ленную задачу. Как обычно, алгоритм работает в арифметизиро-
ванной (оцифрованной) ситуации, причем оцифровка евклидова про-
странства предполагает и стандартизацию скалярного произведе-
ния. Последнее означает, что исходный базис должен выбираться
ортонормированным; тогда, после отождествлениия V и Rn , скаляр-
ное произведение будет определяться стандартной формулой:

                                    n
                                    X
                         (x, y) =         xi yi .         (40.31)
                                    i=1




А л г о р и т м 40. 1.
Приведение симметрической билинейной
(квадратичной) формы в евклидовом пространстве
к главным осям

   Данная с.б.ф. (или кв.ф.) задается с помощью симметрической
(n × n)-матрицы A:

                  f (x, y) = xt A y; h(x) = xt A x.       (40.32)

  Подлежат определению:
  — ортогональная (n × n)-матрица U , являющаяся матрицей пере-
хода к искомому диагонализирующему о.н.б.,
  — диагональная (n × n)-матрица D,
такие, что выполнено соотношение (40.30).