Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 522 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

522 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
имеющая характеристический многочлен
h
A
(λ) = λ
3
− 27λ − 54
и характеристические корни λ
1
= −3 (кратности m
1
= 2) и λ
2
= 6
(кратности m
2
= 1).
Первое собственное подпространство W
1
двумерно; вычисления
приводят к фундаментальной матрице
F
1
=
¡
f
1
¯
¯
f
2
¢
=
1 0
−2 2
0 1
,
содержащей некоторый базис в W
1
.
Второе собственное подпространство W
2
одномерно; фундамен-
тальная матрица
F
2
=
¡
f
3
¢
=
2
1
−2
содержит единственный базисный вектор.
Матрица
T = (F
1
|F
2
) =
1 0 2
−2 2 1
0 1 −2
содержит диагонализирующий базис для формы h. В этом базисе
ей отвечает диагональная матрица
D =
−3 0 0
0 −3 0
0 0 6
.
Легко убедиться в том, что вектор f
3
ортогонален двум предыду-
щим, которые между собой не ортогональны:
(f
1
, f
3
) = (f
2
, f
3
) = 0; (f
1
, f
2
) = −4.
Поэтому первые два вектора должны быть ортогонализированы
по Граму — Шмидту (см. алгоритм 37.2); третий вектор остается
пока неизменным:
522    Линейные, билинейные и квадратичные формы               Гл. 4

имеющая характеристический многочлен

                       hA (λ) = λ3 − 27λ − 54

и характеристические корни λ1 = −3 (кратности m1 = 2) и λ2 = 6
(кратности m2 = 1).
   Первое собственное подпространство W1 двумерно; вычисления
приводят к фундаментальной матрице
                                        
                        ¡ ¯ ¢        1 0
                    F1 = f1 ¯f2 =  −2 2  ,
                                     0 1

содержащей некоторый базис в W1 .
   Второе собственное подпространство W2 одномерно; фундамен-
тальная матрица                       
                            ¡ ¢      2
                       F 2 = f3 =  1 
                                    −2
содержит единственный базисный вектор.
   Матрица                                
                                    1 0 2
                 T = (F1 |F2 ) =  −2 2 1 
                                    0 1 −2
содержит диагонализирующий базис для формы h. В этом базисе
ей отвечает диагональная матрица
                                           
                          −3           0 0
                       D= 0           −3 0  .
                           0           0 6

  Легко убедиться в том, что вектор f3 ортогонален двум предыду-
щим, которые между собой не ортогональны:

               (f1 , f3 ) = (f2 , f3 ) = 0; (f1 , f2 ) = −4.

  Поэтому первые два вектора должны быть ортогонализированы
по Граму — Шмидту (см. алгоритм 37.2); третий вектор остается
пока неизменным:

Страницы