Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 523 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 40 Одновременная диагонализация двух форм 523
g
1
= f
1
=
1
−2
0
;
g
2
= f
2
−
(f
2
, g
1
)
(g
1
, g
1
)
g
1
=
0
2
1
−
−4
5
1
−2
0
=
4/5
2/5
1
;
g
3
= f
3
=
2
1
−2
.
Матрица
G = (g
1
|g
2
|g
3
) =
1 4/5 2
−2 2/5 1
0 1 −2
содержит ортогональный диагонализирующий базис для h (матри-
ца D, здесь и на следующем этапе, не меняется).
Вычислим длины (нормы) векторов-столбцов матрицы G:
|g
1
| =
p
(g
1
, g
1
) =
√
5; |g
2
| =
p
(g
2
, g
2
) =
3
√
5
; |g
3
| =
p
(g
3
, g
3
) = 3.
Поделив каждй столбец матрицы G на его норму, мы получим
ортогональную матрицу
U = (u
1
|u
2
|u
3
) =
1
√
5
4
3
√
5
2
3
−
2
√
5
2
3
√
5
1
3
0
5
3
√
5
−
2
3
,
содержащую ортонормированный базис, диагонализирующий фор-
му h .
Для страховки можно проверить выполнение условия ортогональ-
ности: U
t
U = E. Решающей будет проверка справедливости соотно-
шения D = U
t
AU.
В о т в е т включаем диагональный вид данной формы и фор-
мулы пересчета координат:
§ 40          Одновременная диагонализация двух форм                     523

                         
                        1
           g1 = f1 =  −2  ;
                       0
                                                          
                                       0           1       4/5
                     (f2 , g1 )              −4 
           g2 = f2 −            g1 =  2  −      −2  =  2/5  ;
                     (g1 , g1 )               5
                                       1           0        1
                            
                         2
           g3 = f3 =  1  .
                       −2
   Матрица                                        
                                           1 4/5 2
                    G = (g1 |g2 |g3 ) =  −2 2/5 1 
                                           0  1 −2
содержит ортогональный диагонализирующий базис для h (матри-
ца D, здесь и на следующем этапе, не меняется).
   Вычислим длины (нормы) векторов-столбцов матрицы G:

           p            √          p              3         p
 |g1 | =    (g1 , g1 ) = 5; |g2 | = (g2 , g2 ) = √ ; |g3 | = (g3 , g3 ) = 3.
                                                   5

  Поделив каждй столбец матрицы G на его норму, мы получим
ортогональную матрицу
                                        1       4      2 
                                        √        √
                                         5     3 5     3 
                                                          
                                      2         2      1 
                 U = (u1 |u2 |u3 ) = 
                                      − √5      √         ,
                                               3 5     3 
                                                5       2
                                         0       √     −
                                                3 5      3

содержащую ортонормированный базис, диагонализирующий фор-
му h.
   Для страховки можно проверить выполнение условия ортогональ-
ности: U t U = E. Решающей будет проверка справедливости соотно-
шения D = U t AU.
  В о т в е т включаем диагональный вид данной формы и фор-
мулы пересчета координат:

Страницы