Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 521 стр.

§ 40      Одновременная диагонализация двух форм                   521

  1. С помощью алгоритма 21.1 убеждаемся в (обязательно име-
ющей место) диагонализируемости матрицы A, при этом уже по-
лучается в окончательном виде диагональная матрица D, а также
обратимая матрица
                       T = (F1 |F2 |...|Fs ),          (40.33)
содержащая диагонализирующий базис для данной формы; каждая
из зон матрицы T представляет базис в соответствующем собствен-
ном подпространстве (для л.э., отвечающего A).
   2. Каждый из блоков Fi , содержащих более одного столбца, дол-
жен быть подвергнут "переработке" с помощью алгоритма Грама —
Шмидта 37.2; новые блоки Gi будут иметь попарно ортогональные [в
смысле скалярного произведения (40.31)] столбцы (столбцы из раз-
ных блоков ортогональны автоматически).
   3. Каждый столбец матрицы

                         G = (G1 |G2 |...|Gs )                   (40.34)

должен быть пронормирован, т. е. подвергнут покомпонентному де-
лению на свою длину (норму). В результате будет получена искомая
ортогональная матрица U.
  4. В ответе может быть представлен диагональный вид данных
форм:
                 f (x, y) = ut D v; h(x) = ut D u,        (40.35)
а также выражения старых координат векторов через новые:

                          x = U u; y = U v.                      (40.36)

   Пример 40.1. В связи с тем, что наше знакомство с евклидовой
геометрией является здесь лишь предварительным, мы рассмотрим
самый простой пример, не содержащий вычислительных трудностей.
Приведем к главным осям квадратичную форму

          h(x) = x21 − 2x22 + x23 + 4x1 x2 − 8x1 x3 − 4x2 x3 .

   Р е ш е н и е. Форму можно считать заданной на V = R3 ; в
естественном (ортонормированном) базисе ей соответствует симмет-
рическая матрица                      
                            1   2 −4
                     A =  2 −2 −2  ,
                           −4 −2 1