Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 524 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

524 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
h(x) = −3y
2
1
− 3y
2
2
+ 6y
2
3
;
x
1
=
1
√
5
y
1
+
4
3
√
5
y
2
+
2
3
y
3
;
x
2
= −
1
√
5
y
1
+
2
3
√
5
y
2
+
1
3
y
3
;
x
3
=
5
3
√
5
y
2
+ −
2
3
y
3
.
40.8. Полулинейные, полуторалинейные и эрмитовы фор-
мы. За рамками нашего пособия остается ряд очень интересных
разделов линейной алгебры. Один из них нельзя не упомянуть,
ввиду его исключительного богатства и первостепенной важности в
приложениях. Речь идет о теории форм на комплексных линейных
пространствах.
В приближающейся к завершению четвертой главе нашего курса
б´ольшая часть материала относилась к теории линейных и били-
нейных форм над полем действительных чисел. И это естественно:
линейная алгебра над полем R является наиболее элементарным и
близким к жизни разделом этой науки. Вторым по важности случа-
ем является комплексная линейная алгебра, которая в чем-то даже
проще действительной, но, в некоторых отношениях — значительно
богаче.
Существенной особенностью поля C является наличие автомор-
физма сопряжения: a + bi = z 7→ z = a − bi. Эта операция фигури-
рует в определениях многих "специфически комплексных" понятий
и конструкций. Так, наряду с линейными формами f : V → C, на
комплексных пространствах рассматриваются полулинейные; отли-
чаются они тем, что второе из условий линейности заменяется на
требование f(λx) = λ x (иначе говоря, скалярный множитель из-под
знака формы выносится с сопряжением).
Далее, наряду с билинейными, рассматриваются полуторалиней-
ные формы f(x, y), являющиеся полулинейными по первому аргу-
менту и линейными по второму. Аналогом свойства симметричности
для таких форм служит свойство эрмитовости: f(x, y) = f(y, x).
Обычные квадратичные формы, связанные с обычными симмет-
рическими билинейными, в комплексном случае представляют мень-
ший интерес, чем в действительном. (Вспомните, что они приводят-
ся к скелетному виду и единственным их инвариантом служит ранг.)
А вот эрмитовы формы, получаемые из эрмитово симметричных
полуторалинейных по правилу h(x) = f(x, x), значительно более ин-
тересны и, к тому же, "действительнозначны". Для них вводит-
524    Линейные, билинейные и квадратичные формы            Гл. 4



                     h(x) = −3y12 − 3y22 + 6y32 ;
            
                      √1 y1            4         2
             x1   =             +       y    +  3 y3 ;
                                      √
                        5             3 5 2
                        1              2         1
              x2   = − 5 y1
                       √         +     √ y
                                      3 5 2
                                              +  3 y3 ;
            
            x                         5
               3   =                   √ y
                                      3 5 2
                                              + − 23 y3 .


   40.8. Полулинейные, полуторалинейные и эрмитовы фор-
мы. За рамками нашего пособия остается ряд очень интересных
разделов линейной алгебры. Один из них нельзя не упомянуть,
ввиду его исключительного богатства и первостепенной важности в
приложениях. Речь идет о теории форм на комплексных линейных
пространствах.
   В приближающейся к завершению четвертой главе нашего курса
бо́льшая часть материала относилась к теории линейных и били-
нейных форм над полем действительных чисел. И это естественно:
линейная алгебра над полем R является наиболее элементарным и
близким к жизни разделом этой науки. Вторым по важности случа-
ем является комплексная линейная алгебра, которая в чем-то даже
проще действительной, но, в некоторых отношениях — значительно
богаче.
   Существенной особенностью поля C является наличие автомор-
физма сопряжения: a + bi = z 7→ z = a − bi. Эта операция фигури-
рует в определениях многих "специфически комплексных" понятий
и конструкций. Так, наряду с линейными формами f : V → C, на
комплексных пространствах рассматриваются полулинейные; отли-
чаются они тем, что второе из условий линейности заменяется на
требование f (λx) = λ x (иначе говоря, скалярный множитель из-под
знака формы выносится с сопряжением).
   Далее, наряду с билинейными, рассматриваются полуторалиней-
ные формы f (x, y), являющиеся полулинейными по первому аргу-
менту и линейными по второму. Аналогом свойства симметричности
для таких форм служит свойство эрмитовости: f (x, y) = f (y, x).
   Обычные квадратичные формы, связанные с обычными симмет-
рическими билинейными, в комплексном случае представляют мень-
ший интерес, чем в действительном. (Вспомните, что они приводят-
ся к скелетному виду и единственным их инвариантом служит ранг.)
   А вот эрмитовы формы, получаемые из эрмитово симметричных
полуторалинейных по правилу h(x) = f (x, x), значительно более ин-
тересны и, к тому же, "действительнозначны". Для них вводит-

Страницы