Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 513 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 40 Одновременная диагонализация двух форм 513
Предложение 40.5. В произвольном о.н.б. евклидова простран-
ства V самосопряженный л.э. ϕ ∈ L(V ) имеет симметрическую мат-
рицу, совпадающую с матрицей симметрической билинейной фор-
мы f
ϕ
, сооответствующей ϕ.
Доказательство можно провести с помощью предложений 40.3
и 40.4
0
: в о.н.б. скалярное произведение (п.о. с.б.ф. g) имеет матри-
цу G = E. Следовательно, формула (40.12) приобретает вид: F
ϕ
= A,
т. е. л.э. ϕ и соответсвующая б.ф.
f
ϕ
(x, y) = (x, ϕ(y)) (40.18)
имеют одинаковые матрицы. Но самосопряженный л.э. ϕ соответ-
ствует симметрической б.ф. f
ϕ
; так что матрица F
ϕ
и, с ней вместе,
матрица A — обязаны быть симметрическими.
Есть, однако, более прямой путь доказательства симметричности
матрицы A, с использованием формул Фурье (40.5
0
):
a
ij
= [ϕ(b
j
)]
i
(40.5
0
)
=== (ϕ(b
j
), b
i
)
(40.13
0
)
===
= (b
j
, ϕ(b
i
)) = (ϕ(b
i
), b
j
)
(40.5
0
)
=== [ϕ(b
i
)]
j
= a
ji
. ¤
Замечание 40.1. Легко убедиться в том, что верно и обратное:
если л.э. имеет симметрическую матрицу в некотором о.н.б., то он
является самосопряженным (и, следовательно, уже в любом о.н.б.
ему соответствует симметрическая матрица). В других (не ортонор-
мированных) базисах свойство симметричности матрицы самосопря-
женного оператора, вообще говоря, теряется.
Любопытно проследить за изменением матриц (для с.б.ф. и для
соответствующего самосопряженного л.э.) при переходе от одного
о.н.б. к другому. Как мы помним из пункта 34.3, при замене базиса
(с матрицей перехода T ) матрицы для линейных эндоморфизмов и
для билинейных форм преобразуются по различным законам: для
л.э. матрица A заменяется на подобную матрицу T
−1
AT , для б.ф. —
на конгруэнтную матрицу T
t
AT.
Однако эти преобразования будут давать один и тот же резуль-
тат, если матрица перехода удовлетворяет условию T
−1
= T
t
, ко-
торое есть не что иное, как условие ортогональности (40.6). В рас-
сматриваемом случае оно выполняется (в силу предложения 40.1),
поскольку мы осуществляем переход от одного о.н.б. к другому о.н.б.
§ 40       Одновременная диагонализация двух форм                              513

   Предложение 40.5. В произвольном о.н.б. евклидова простран-
ства V самосопряженный л.э. ϕ ∈ L(V ) имеет симметрическую мат-
рицу, совпадающую с матрицей симметрической билинейной фор-
мы fϕ , сооответствующей ϕ.
   Доказательство можно провести с помощью предложений 40.3
и 40.40 : в о.н.б. скалярное произведение (п.о. с.б.ф. g) имеет матри-
цу G = E. Следовательно, формула (40.12) приобретает вид: Fϕ = A,
т. е. л.э. ϕ и соответсвующая б.ф.

                                fϕ (x, y) = (x, ϕ(y))                       (40.18)

имеют одинаковые матрицы. Но самосопряженный л.э. ϕ соответ-
ствует симметрической б.ф. fϕ ; так что матрица Fϕ и, с ней вместе,
матрица A — обязаны быть симметрическими.
   Есть, однако, более прямой путь доказательства симметричности
матрицы A, с использованием формул Фурье (40.50 ):

                (40.50 )               (40.130 )
  aij = [ϕ(bj )]i === (ϕ(bj ), bi ) ===
                                                        (40.50 )
                           = (bj , ϕ(bi )) = (ϕ(bi ), bj ) === [ϕ(bi )]j = aji . ¤

   Замечание 40.1. Легко убедиться в том, что верно и обратное:
если л.э. имеет симметрическую матрицу в некотором о.н.б., то он
является самосопряженным (и, следовательно, уже в любом о.н.б.
ему соответствует симметрическая матрица). В других (не ортонор-
мированных) базисах свойство симметричности матрицы самосопря-
женного оператора, вообще говоря, теряется.
   Любопытно проследить за изменением матриц (для с.б.ф. и для
соответствующего самосопряженного л.э.) при переходе от одного
о.н.б. к другому. Как мы помним из пункта 34.3, при замене базиса
(с матрицей перехода T ) матрицы для линейных эндоморфизмов и
для билинейных форм преобразуются по различным законам: для
л.э. матрица A заменяется на подобную матрицу T −1 AT , для б.ф. —
на конгруэнтную матрицу T t AT.
   Однако эти преобразования будут давать один и тот же резуль-
тат, если матрица перехода удовлетворяет условию T −1 = T t , ко-
торое есть не что иное, как условие ортогональности (40.6). В рас-
сматриваемом случае оно выполняется (в силу предложения 40.1),
поскольку мы осуществляем переход от одного о.н.б. к другому о.н.б.

Страницы