Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 509 стр.

§ 40       Одновременная диагонализация двух форм               509

   40.2. Ортогональные матрицы. Любые два базиса в к.л.п.
связаны (обратимой) матрицей перехода. Исследуем вопрос о том,
как характеризуются матрицы перехода от одного о.н.б. в евклидо-
вом пространстве к другому о.н.б.
   Пусть B и B0 — два о.н.б. в n-мерном евклидовом пространстве V,
геометрия которого задается п.о. с.б.ф. g(x, y) = (x, y). В каждом из
о.н.б. этой форме отвечает единичная матрица; так что, по прави-
лу (34.20) пересчета матриц для билинейных форм, мы будем иметь:
E = U t EU , где U — матрица перехода от B к B0 . Полученное условие
равносильно соотношению
                             U −1 = U t .                      (40.6)
   Матрицы, удовлетворяющие (40.6), называются ортогональными;
их множество обозначается O(n, R); оно, как легко доказать (займи-
тесь этим), представляет собой подгруппу в группе GL(n, R) всех
обратимых матриц.
   Вывод, к которому привело наше исследование, таков:

   Предложение 40.1. Ортогональные матрицы, и только они, яв-
ляются матрицами перехода между ортонормированными базисами
в евклидовом пространстве. ¤
   Если расписать условие ортогональности U t U = E как соотноше-
ние для столбцов матрицы U , то станет очевидной его равносиль-
ность следующему факту: столбцы ортогональной матрицы образу-
ют о.н.б. в арифметическом линейном пространстве Rn , снабженном
стандартным скалярным произведением.
   Существует только две ортогональных матрицы первого порядка,
а именно: (±1).
   Элементарные вычисления показывают, что всякая ортогональ-
ная матрица второго порядка U ∈ O(2, R) имеет один из двух воз-
можных видов:
               µ               ¶           µ               ¶
                 cos α − sin α               cos α  sin α
       (1) U =                   , (2) U =                   ;
                 sin α cos α                 sin α − cos α
первый вид отвечает оператору поворота евклидовой плоскости на
угол α, а второй — зеркальному отражению (относительно первой
оси) с последующим поворотом на α.
  (С сожалением приходится напоминать читателям, что подробное
знакомство с геометрическими приложениями у нас пока отклады-
вается. Может быть, некоторым из вас не терпится окунуться в мир