Планирование научного эксперимента и обработка экспериментальных данных. Яворский В.А. - 6 стр.

      Случайная величина x полностью задается плотностью вероятности ρ ( x) (другие
названия – распределение вероятности, распределение величины x).
      Среднее значение x измеряемой величины x указывает центр распределения, около
которого группируются результаты отдельных измерений:
                                         1 n
                                     x = ∑ xi                      (3.1)
                                         n i =1
      Дисперсию вводят как средний квадрат отклонения отдельных результатов от
среднего значения случайной величины:
                σ2 =
                        1 n
                           ∑
                      n − 1 i =1
                                 (         (
                                   xi − x ) =
                                           2      n
                                                n −1
                                                       )
                                                     x2 − x
                                                            2
                                                                   (3.2)

      Коэффициент n–1 появляется, поскольку в связи с конечным количеством
экспериментов вычисленное среднее значение x отличается от предельного (получаемого
при n → ∞ ), и такая поправка дает возможность получить несмещенную оценку для
дисперсии.
       Среднее квадратичное отклонение, называемое также стандартным, определяют
как квадратный корень из дисперсии:

                σ=
                       1 n
                          ∑
                     n − 1 i =1
                                ( xi − x ) =
                                          2
                                               (
                                               n
                                             n −1
                                                  x2 − x
                                                         2
                                                           )       (3.3)

      Эта величина характеризует разброс результатов отдельных измерений вокруг
среднего значения, получаемого после обработки всех данных многократного измерения.
Конечно, точные значения σ и x являются предельными величинами, так как могут быть
получены лишь тогда, когда полное количество проведенных измерений достаточно велико,
в пределе при n → ∞ . При конечных n правильнее использовать термин экспериментальная
оценка, который в равной мере относится и к среднему значению, и к дисперсии.

4. Нормальное распределение и его свойства
Нормальное распределение

      При обработке данных измерений в науке и технике обычно предполагают
нормальный закон распределения случайных погрешностей измерений. Оно всегда
проявляется тогда, когда суммарная погрешность есть результат неучтенного совместного
воздействия множества причин, каждая из которых дает малый вклад в погрешность.
Причем совершенно неважно, по какому закону распределен каждый из вкладов в
отдельности.
      Свойства нормально распределенной случайной величины x:
      1. x ∈ ( −∞; +∞ ) ;
      2. ρ ( x ) является непрерывной функцией;
      3. Центр распределения случайной величины одновременно является центром
          симметрии;
      4. Малые отклонения встречаются чаще больших, другими словами, реализуются с
          большей вероятностью.
      Соответствующее функциональное выражение для распределения задает формула
Гаусса:
                                     1      ⎡ ( x − x )2 ⎤
                          ρ ( x) =      exp ⎢ −          ⎥,      (4.1)
                                   σ 2π     ⎢     2σ 2 ⎥
                                            ⎣            ⎦
      где σ и x – дисперсия и среднее значение распределения.
            2



                                                   6