Планирование научного эксперимента и обработка экспериментальных данных. Яворский В.А. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Вероятность того, что результат измерения попадет в интервал
[
]
12
;
x
x , равна:
()(
2
1
12
x
x
Px x x xdx
ρ
≤≤ =
∫
)
(4.2)
В скобках после P указано событие, для которого вычислена вероятность. При
увеличении границ промежутка в обе стороны до бесконечности интеграл от функции
распределения
()
1
x
dx
ρ
+∞
−∞
=
∫
,
т.е. попадание результата измерения в диапазон
(
)
;x
∈
−∞ +∞ является достоверным
событием.
Пусть
x
Δ – произвольное отклонение от средней величины
x
. Введем ε – величину
отношения полуширины интервала Δx к среднему квадратичному отклонению σ:
ε
σ
Δ
= (4.3)
В таблице 1 указана вероятность α:
(
Px x x
)
α
εσ εσ
=−≤≤+ (4.4)
Таблица №1. Нормальное распределение: доверительные интервалы
()
;
x
xx x−Δ +Δ для
доверительной вероятности
α
(в долях
ε
).
α
0,68 0,90 0,95 0,990 0,997 0,999
ε
1,0 1,65 2,0 2,6 3,0 3,3
Ее также можно рассчитать по приближенному выражению:
2
2
1exp
ε
α
π
⎛⎞
≈− −
⎜
⎝⎠
⎟
(4.5)
Правило «3 стандартов»
Видно, что результат измерения с вероятностью около 68% попадет в
интервал
(
;xx
)
σ
σ
−+, т.е. примерно каждое третье измерение даст результат за
пределами этого интервала. За пределами интервала
(
)
2; 2xx
σ
σ
−+ окажется 5%
результатов, а для интервала
(
3; 3xx
)
σ
σ
−+ – только один из трехсот. Значит, интервал
(
3; 3xx
)
σ
σ
−+ является почти достоверным, так как подавляющее большинство
отдельных результатов многократного измерения случайной величины окажется
сосредоточенным именно в нем.
При обработке результатов эксперимента часто используется «правило 3σ», или
правило «трех стандартов», которое основано на указанном свойстве нормального
распределения. С учетом проведенного выше анализа, можно установить наличие промаха в
результате отдельного измерения, а значит,
отбросить его, если результат измерения более
чем на 3σ отличается от измеренного среднего значения случайной величины.
В то же время стоит более тщательно повторить измерения в этой области параметров
– возможно, данный результат измерения не является промахом, а свидетельствует о
наличии необычного поведения изучаемой системы, которое не укладывается в рамки
7
        Вероятность того, что результат измерения попадет в интервал [ x1; x2 ] , равна:
                                                  x2

                              P ( x1 ≤ x ≤ x2 ) = ∫ ρ ( x ) dx                              (4.2)
                                                  x1

      В скобках после P указано событие, для которого вычислена вероятность. При
увеличении границ промежутка в обе стороны до бесконечности интеграл от функции
распределения
                                                  +∞

                                                  ∫ ρ ( x ) dx = 1 ,
                                                  −∞

        т.е. попадание результата измерения в диапазон x ∈ ( −∞; +∞ ) является достоверным
событием.
      Пусть Δx – произвольное отклонение от средней величины x . Введем ε – величину
отношения полуширины интервала Δx к среднему квадратичному отклонению σ:
                                      Δx
                                  ε=                               (4.3)
                                                σ
        В таблице 1 указана вероятность α:
                         α = P ( x − εσ ≤ x ≤ x + εσ )                                      (4.4)

Таблица №1. Нормальное распределение: доверительные интервалы                         (   x − Δx; x + Δx ) для
доверительной вероятности α (в долях ε).

                   α        0,68       0,90         0,95         0,990        0,997   0,999
                   ε        1,0        1,65         2,0           2,6          3,0     3,3

        Ее также можно рассчитать по приближенному выражению:
                                                 ⎛ 2ε 2 ⎞
                                     α ≈ 1 − exp ⎜ −    ⎟                                   (4.5)
                                                 ⎝ π ⎠

Правило «3 стандартов»

      Видно, что результат измерения с вероятностью около 68% попадет в
интервал ( x − σ ; x + σ ) , т.е. примерно каждое третье измерение даст результат за
пределами этого интервала. За пределами интервала                        (   x − 2σ ; x + 2σ ) окажется 5%
результатов, а для интервала    (   x − 3σ ; x + 3σ ) – только один из трехсот. Значит, интервал
(   x − 3σ ; x + 3σ ) является почти достоверным, так как подавляющее большинство
отдельных результатов многократного измерения случайной величины окажется
сосредоточенным именно в нем.
       При обработке результатов эксперимента часто используется «правило 3σ», или
правило «трех стандартов», которое основано на указанном свойстве нормального
распределения. С учетом проведенного выше анализа, можно установить наличие промаха в
результате отдельного измерения, а значит, отбросить его, если результат измерения более
чем на 3σ отличается от измеренного среднего значения случайной величины.
       В то же время стоит более тщательно повторить измерения в этой области параметров
– возможно, данный результат измерения не является промахом, а свидетельствует о
наличии необычного поведения изучаемой системы, которое не укладывается в рамки

                                                           7

Страницы