Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 162 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

162 Глава 4. Аффинные пространства
определению, имеем
x
1
x
2
x
3
x
4
1
0 0 0 0 1
1 0 0 0 1
0 1 0 0 1
0 0 0 1 1
= 0. (17.28)
Разложив определитель (17.28) по третьему столбцу, получим уравнение искомой
гиперплоскости: x
3
= 0. Мы уже проверили, что координаты всех заданных точек
удовлетворяют неравенству x
3
> 0, т.е. все точки принадлежат замкнутому полупро-
странству x
3
> 0. Отсюда следует, что гиперплоскость x
3
= 0 является опорной гипер-
плоскостью, т.е. плоскостью, в которой расположена вторая грань выпуклой оболочки
системы точек O, A, B, C, D, E, F в четырехмерном пространстве A
4
. Эта трехмерная
грань — выпуклая оболочка пяти точек O, A, B, C, E, принадлежащих трехмерной
плоскости π
(2)
3
, — представляет собой, как это следует из рис. 16, трехмерный пяти-
гранник OABCE (четырехугольную пирамиду с вершиной E). Его двумерными гра-
нями, как легко видеть из того же рис. 16, являются один двумерный четырехгранник
(параллелограмм) OABC и четыре двумерных трехгранника (треугольника): OBE,
BCE, CAE, AOE с общей вершиной E.
Найдем, наконец, еще одну гиперплоскость, проходящую через параллелограмм
OABC и точку F . Как и раньше, запишем определитель, содержащий координаты
точек O, A, B и F :
x
1
x
2
x
3
x
4
1
0 0 0 0 1
1 0 0 0 1
0 1 0 0 1
0 0 1 1 1
= 0. (17.29)
Вычислив определитель (17.29), получим уравнение гиперплоскости π
(3)
3
: x
3
−x
4
= 0.
Однако эта гиперплоскость не является опорной, т.е. не содержит грани искомого
многоугольника, поскольку точки D и E лежат по разные ее стороны. Координаты
этих точек удовлетворяют неравенствам x
3
− x
4
> 0 (точка D) и x
3
− x
4
< 0 (точка
E). Полученную гиперплоскости π
(3)
3
можно сравнить с диагональю двумерного че-
тырехгранника, т.е. параллелограмма. Диагональ параллелограмма также проходит
через две его вершины, но является одномерной гранью или, другими словами, реб-
ром, коими являются все четыре его стороны, все вершины которых лежат по одну
сторону грани (ребра).
Теперь рассмотрим гиперплоскости, проходящие через еще один параллелограмм
— двумерный четырехгранник ODEF , поскольку
−−→
OF =
−−→
OE +
−−→
OD. Чтобы записать
уравнения возможных гиперплоскостей, четыре точки O, D, E, F , принадлежащие од-
ной двумерной плоскости, можно дополнить только тремя способами: или точкой A,
или точкой B, или точкой C.
В первом случае имеем определитель из координат четырех точек O, D, E, A (см.
выше)
x
1
x
2
x
3
x
4
1
0 0 0 0 1
0 0 1 0 1
0 0 0 1 1
1 0 0 0 1
= 0 (17.30)
и уравнение искомой гиперповерхности π
(4)
3
: x
2
= 0.
Во втором случае имеем определитель из координат точек O, D, E, B
x
1
x
2
x
3
x
4
1
0 0 0 0 1
0 0 1 0 1
0 0 0 1 1
0 1 0 0 1
= 0 (17.31)

Страницы