Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 161 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

17. Системы линейных неравенств и многогранники 161
Заметим прежде, что систему неравенств (17.22), (17.23) можно рассматривать
как совокупность замкнутых полупространств, пересечение которых определяет вы-
пуклую оболочку заданных точек, т.е. четырехмерный восьмигранник OABCDEF .
Итак, проведем через каждые четыре точки, не лежащие на одной двумерной
плоскости, трехмерную плоскость, т.е. гиперплоскость в пространстве A
4
. Уравнение
такой гиперплоскости имеет вид
4
X
i=1
a
i
x
i
= b, (17.24)
и если координаты всех точек удовлетворяют одному из неравенств
4
X
i=1
a
i
x
i
> b, (17.25)
4
X
i=1
a
i
x
i
6 b, (17.26)
то соответствующее неравенство входит в совокупность замкнутых гиперплоскостей,
пересечение которых определяет искомый многогранник. При этом выпуклая оболоч-
ка всех точек, лежащих в гиперплоскости (17.24), будет трехмерной гранью этого
многогранника. Если к решению задачи подходить формально, то число плоскостей,
проходящих через четыре из заданных семи точек, определится как C
4
7
= 7!/4!3! = 35.
Однако предварительное исследование взаимного расположения точек может суще-
ственно уменьшить число необходимых гиперплоскостей.
Действительно, поскольку вектор
−−→
OC =
−→
OA +
−−→
OB (см. рис. 16), то четыре точки
O, A, B, C лежат в одной двумерной плоскости и могут быть дополнены только тремя
точками: или D, или E, или F . Найдем уравнение гиперплоскости, проходящей через
точки O, A, B, C, D. Поскольку для нахождения уравнения трехмерной плоскости до-
статочно четырех точек, то из равноправных точек O, A, B, C, принадлежащих одной
двумерной плоскости, оставим только O, A, B. Теперь, согласно определению, найдем
уравнение гиперплоскости, проходящей через оставшиеся четыре точки O, A, B, D:
x
1
x
2
x
3
x
4
1
0 0 0 0 1
1 0 0 0 1
0 1 0 0 1
0 0 1 0 1
= 0. (17.27)
Разложив определитель (17.27) по четвертому столбцу, получим уравнение гипер-
плоскости π
(1)
3
: x
4
= 0. Мы уже проверили, что координаты всех заданных точек
удовлетворяют неравенству x
4
> 0, т.е. все точки принадлежат замкнутому полу-
пространству x
4
> 0. Отсюда следует, что гиперплоскость x
4
= 0 является опорной
гиперплоскостью, т.е. плоскостью, в которой расположена одна из трехмерных граней
выпуклой оболочки системы точек O, A, B, C, D, E, F в четырехмерном пространстве
A
4
. В свою очередь, эта трехмерная грань представляет собой вы пуклую оболочку
пяти точек O, A, B, C, D, принадлежащих трехмерной плоскости π
(1)
3
(см. рис. 16) и
образует трехмерный пятигранник OABCD (четырехугольную пирамиду с вершиной
D). Его двумерными гранями, как легко установить из того же рис. 16, являются один
двумерный четырехгранник (параллелограмм) OACB и четыре двумерных трехгран-
ника (треугольника): OBD, BCD, CAD, AOD с общей вершиной D.
Найдем теперь уравнение гиперплоскости, проходящей через точки O, A, B, C, E.
Поскольку для нахождения уравнения трехмерной плоскости достаточно четырех то-
чек, то, как и выше, из равноправных точек O, A, B, C оставим только O, A, B и
проведем через оставшиеся четыре точки O, A, B, E гиперплоскость π
(2)
3
. Согласно

Страницы