Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 159 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

17. Системы линейных неравенств и многогранники 159
Рассмотрим более подробно свойства выпуклых оболочек конечного множества
точек. Предварительно проиллюстрируем эти свойства примером.
Пример 17.2. Найти координаты точек выпуклой оболочки M множества M, состо-
ящего из трех точек N
1
, N
2
, N
3
.
Решение. Пусть x
(1)
i
, x
(2)
i
, x
(3)
i
, i = 1, n, — ко-
Рис. 15.
ординаты точек N
1
, N
2
, N
3
соответственно. Если
точки лежат на одной прямой (рис. 15,a), то они
образуют некоторый отрезок, например N
1
N
2
(или
N
1
N
3
и др.). Координаты x
i
, i = 1, n, любой точ-
ки этого отрезка задаются уравнениями (17.7)
x
i
= λ
1
x
(1)
i
+ λ
2
x
(2)
i
, i = 1, n;
λ
1
> 0, λ
2
> 0, λ
1
+ λ
2
= 1.
(17.16)
Если же точки не лежат на одной прямой, то они образуют трехгранник N
1
N
2
N
3
,
являющийся выпуклой оболочкой этих точек.
Обозначим через y
i
, i = 1, n, координаты произвольной точки P отрезка N
1
N
2
,
а через x
i
, i = 1, n, — координаты произвольной точки N отрезка P N
3
(рис. 15,б).
Координаты точки P , согласно (17.16), удовлетворяют соотношениям
y
i
= λ
′
1
x
(1)
i
+ λ
′
2
x
(2)
i
, λ
′
1
+ λ
′
2
= 1, λ
′
1
> 0, λ
′
2
> 0, i = 1, n, (17.17)
а координаты точки N — соответственно соотношениям
x
i
= λ
′′
1
y
i
+ λ
′′
2
x
(3)
i
, λ
′′
1
+ λ
′′
2
= 1, λ
′′
1
> 0, λ
′′
2
> 0, i = 1, n. (17.18)
Подставив (17.17) в (17.18), найдем
x
i
= λ
′′
(λ
′
1
x
(1)
i
+ λ
′
2
x
(2)
i
) + λ
′
2
x
(3)
i
= λ
′′
1
λ
′
1
x
(1)
i
+ λ
′′
1
λ
′
2
x
(2)
i
+ λ
′
2
x
(3)
i
.
Введя обозначения
λ
′′
1
λ
′
1
= λ
1
, λ
′′
1
λ
′
2
= λ
2
, λ
2
= λ
3
и учтя, что
λ
1
+ λ
2
+ λ
3
= λ
′′
1
(λ
′
1
+ λ
′
2
) + λ
′′
2
= λ
′′
1
+ λ
′′
2
= 1, λ
k
> 0, k = 1, 2, 3,
имеем
x
i
= λ
1
x
(1)
i
+ λ
2
x
(2)
i
+ λ
3
x
(3)
i
, i = 1, n;
λ
1
+ λ
2
+ λ
3
= 1, λ
k
> 0, k = 1, 2, 3.
(17.19)
Перемещая точку P вдоль отрезка N
1
N
2
, а точку N вдоль отрезка P N
3
, мы исчерпаем
все множество точек трехгранника N
1
N
2
N
3
. Следовательно, координаты точек трех-
гранника N
1
N
2
N
3
описываются уравнениями (17.19), что и требовалось получить.
Рассуждая аналогичным образом, для k точек N
1
, N
2
, . . . , N
k
из A
n
получим сле-
дующее утверждение.
Теорема 17.2. Координаты всех точек N
1
(x
(1)
1
, . . . , x
(1)
n
), N
2
(x
(2)
2
, . . . , x
(2)
n
), . . . ,
N
k
(x
(k)
1
, . . . , x
(k)
n
) выпуклой оболочки M (и только их) из A
n
можно представить
в виде
x
i
= λ
1
x
(1)
i
+ λ
2
x
(2)
i
+ . . . + λ
k
x
(k)
i
, i = 1, n, (17.20)
где все
λ
j
> 0,
k
X
j=1
λ
j
= 1. (17.21)

Страницы