ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
158 Глава 4. Аффинные пространства
Рис. 13.
Перейдем ко второй части задачи. Если через точки A и D провести полуплоскость
в соответствии со штриховкой, приведенной на рис. 13,б, то в результате получим вы-
пуклый многогранник ABCD, содержащий исходное невыпуклое множество G. Од-
нако такое решение не единственно. Можно, например, провести две дополнительные
полуплоскости через отрезки AF и F D в соответствии со штриховкой, приведенной
на рис. 13,б. В результате получим выпуклый многогранник ABCDF , который со-
держит исходное невыпуклое множество G и, кроме того, выпуклый многогранник
ABCD.
Указанный пример естественным образом подводит к такому понятию, как вы-
пуклая оболочка множества точек в аффинном пространстве. Пусть M — некоторое,
не обязательно выпуклое, множество точек. Обозначим через M пересечение всех вы-
пуклых множеств, содержащих M. Тогда выпуклое множество M содержит M и само
как пересечение множеств содержится во всяком выпуклом множестве, содержащем
M. Тогда выпуклую оболочку можно определить следующим образом.
Выпуклой оболочкой множества точек M аффинного пространства называется
минимальное выпуклое множество M, содержащее множество M.
Так, многогранник ABCD (рис. 13,б) является выпуклой оболочкой множества G.
В тех случаях, когда множество M состоит из конечного числа точек P
0
, P
1
, . . . ,
P
n
, их выпуклая оболочка представляет собой выпуклый многогранник, вершинами
которого являются некоторые (не обязательно все!) точки из M. Размерность тако-
го многогранника определяется наибольшим числом линейно независимых векторов
−−−→
P
0
P
1
,
−−−→
P
0
P
2
, . . . ,
−−−→
P
0
P
n
.
Справедливо и обратное утверждение: всякий выпуклый многогранник представ-
ляет собой выпуклую оболочку совокупности своих вершин.
Среди всех выпуклых оболочек, как
Рис. 14.
мы увидим ниже, особую роль играют
конусы (хотя точнее было бы их назы-
вать полуконусами).
Выпуклым конусом с вершиной
в точке O, натянутым на множество
M, называется выпуклая оболочка M
множества M, представляющего собой
совокупность всех точек некоторого ко-
личества лучей с общей вершиной в точ-
ке O.
На рис. 14 изображены конусы с ко-
нечным и бесконечным количеством лучей в π
3
. В частности, аффинное пространство
A
n
можно рассматривать как конус с вершиной в начале координат O.
Отметим простейшие свойства выпуклых оболочек, вытекающие из определения.
Свойство 1. Множество M совпадает со своей выпуклой оболочкой M тогда и толь-
ко тогда, когда оно выпукло.
Свойство 2. Если M
1
⊂ M
2
, то выпуклая оболочка множества M
1
содержится в
M
2
.
Свойство 3. Если M = M
1
∪ M
2
и M
1
— выпуклая оболочка множества M
1
, то
выпуклая оболочка M множества M совпадает с выпуклой оболочкой объединения
M
1
∪ M
2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- …
- следующая ›
- последняя »
