ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
156 Глава 4. Аффинные пространства
Рис. 11.
Теорема 17.1. Каждое полупространство является выпуклым множеством.
Доказательство. Рассмотрим, например, полупространство (17.10), которому при-
надлежат точки M и N с координатами (x
(0)
1
, . . . , x
(0
n
) и (x
(1)
1
, . . . , x
(1
n
) соответственно.
Тогда
n
X
i=1
a
i
x
(0)
i
− b > 0 и
n
X
i=1
a
i
x
(1)
i
− b > 0.
Для произвольной точки P (x
1
, . . . , x
n
) отрезка MN с учетом (17.7) и условия λ
1
+λ
2
=
1 имеем
n
X
i=1
a
i
x
i
− b =
n
X
i=1
a
i
(λ
1
x
(0)
i
+ λ
2
x
(1)
i
) − b(λ
1
+ λ
2
) =
= λ
1
n
X
i=1
a
i
x
(0)
i
− b
+ λ
2
n
X
i=1
a
i
x
(1)
i
− b
> 0.
Таким образом, точка P , взятая произвольно на отрезке MN, принадлежит полупро-
странству (17.10), следовательно, и весь отрезок принадлежит этому полупростран-
ству, что и требовалось доказать.
Выпуклым многогранником называется непустое пересечение конечного числа
полупространств.
Далее мы будем рассматривать в основном многогранники, образованные пересе-
чением замкнутых полупространств.
Выпуклый многогранник можно рассматривать как часть пространства, вырезан-
ную несколькими гиперплоскостями. На рис. 12 изображены различные многогран-
ники в пространстве A
3
. Особенность многогранника на рис. 12,б состоит в том, что
что он не ограничен, по этой причине его ещ е иногда называют многогранным телом.
Особенностью же многогранника на рис. 12,в является то, что он целиком принад-
лежит некоторой двумерной плоскости π
2
из A
3
. В элементарной геометрии такие
фигуры называются многоугольниками, мы же будем по-прежнему называть их мно-
гогранниками, поскольку понятие угла пока еще не введено.
Пусть в пространстве A
n
заданы k замкнутых полупространств
n
X
i=1
a
j
i
x
i
− b
j
6 0, j = 1, k. (17.12)
Рис. 12.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- …
- следующая ›
- последняя »
