ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
154 Глава 4. Аффинные пространства
Из определения следует, что если точка P лежит между M и N, то все три точки
лежат на одной прямой. Кроме того, отношение «лежать между» симметрично: если
P лежит между M и N, то P лежит и между N и M .
Пусть M, N, P — попарно различные точки, лежащие на одной прямой π
1
, причем
−−→
MP = t
−−→
MN. Если
a) t < 0, то точка M лежит между P и N (рис. 10,а);
б) 0 6 t 6 1, то точка P лежит между M и N (рис. 10,б);
в) t > 0, то точка N лежит между M и P (рис. 10,в).
Точка P называется лежащей по одну сторону с точкой N относительно точки
M, если она лежит между M и N (рис. 10,б) или N лежит между M и P (рис. 10,в).
В противном случае точки P и N лежат по разные стороны точки M (рис. 10,a).
Рис. 10.
Отрезком MN в пространстве A
n
называется совокупность всех точек, ле-
жащих между M и N, включая сами точки M и N, которые называются концами
отрезка. Отрезок MM состоит из одной точки M.
Пусть на прямой (17.2) выбраны две точки M и N . Соответствующие им значения
параметра t обозначим через t
1
и t
2
. Предположим, что t
1
< t
2
. Тогда отрезок MN
можно описать уравнением (17.2) при условии, что параметр t пробегает значения
t
1
6 t 6 t
2
. (17.4)
Если точка M имеет координаты (x
(0)
1
, x
(0)
2
, . . . , x
(0)
n
), а точка N — соответственно
(x
(1)
1
, x
(1)
2
, . . . , x
(1)
n
), то в качестве направляющего вектора прямой можно выбрать век-
тор ~s =
−−→
MN (см. пример 15.1). Тогда s
i
= x
(1)
i
− x
(0)
i
, и для текущей точки, согласно
(15.7) имеем
x
i
= x
(0)
i
+ (x
(1)
i
− x
(0)
i
)t = (1 − t)x
(0)
i
+ x
(1)
i
t. (17.5)
В соотношении (17.5) t = 0 соответствует точке M, а t = 1 — точке N. В результате
отрезок MN будет задан неравенством
0 6 t 6 1. (17.6)
Обозначив λ
1
= 1 −t и λ = t, для точек отрезка будем иметь
x
i
= λ
1
x
(0)
i
+ λ
2
x
(1)
i
, i = 1, n;
λ
1
> 0, λ
2
> 0, λ
1
+ λ
2
= 1.
(17.7)
Точка, в которой λ
1
= λ
2
= 0,5, называется серединой отрезка MN .
Наряду с понятием отрезка введем еще одно, более широкое понятие. Пусть точки
O и M — некоторые различные точки аффинного пространства.
Совокупность точек π
1
(OM) аффинного пространства называется лучом (полу-
прямой), если π
1
(OM) состоит из всех точек P , лежащих по ту же сторону точки O,
что и точка M. Точка O называется вершиной луча π
1
(OM).
Из определения ясно, что все точки луча π
1
(OM) принадлежат прямой π
1
, про-
ходящей через две точки O и M. Если в подпространстве π
1
выбрать репер {O ,
−−→
OM}
в качестве координатного, то каждому x
0
∈ R будет отвечать точка P с координатой
x
0
, для которой
−−→
OP = x
0
−−→
OM. Ясно, что луч (или полупрямая) π
1
(OM) состоит из то-
чек прямой π
1
, имеющих неотрицательную координату x
0
> 0. Отсюда, в частности,
следует, что каждый луч имеет лишь одну вершину O, и если точка N, отличная от
O, лежит на луче π
1
(OM), то лучи π
1
(OM) и π
1
(ON) совпадают.
Если теперь на прямой π
1
, содержащей луч π
1
(OM), выбрать точку N, лежащую
по другую сторону точки O, нежели точка M, то мы получим другой луч или другую
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- …
- следующая ›
- последняя »
