ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
17. Системы линейных неравенств и многогранники 153
плоскости либо параллельны, либо скрещиваются, либо пересекаются. Если π
k
и π
l
параллельны, то для размерности m, согласно определению, имеем оценку
m = min(k, l). Если π
k
и π
l
скрещиваются, то, согласно теореме 16.2, выпол-
няется неравенство k + l − m < n. Поскольку оба соотношения противоречат
(16.43), плоскости π
k
и π
l
пересекаются, что и требовалось доказать.
До сих пор, чтобы найти пересечение плоскостей, мы искали решение объ-
единенной системы уравнений плоскостей. С этой точки зрения, две плоскости
пересекаются, если их объединенная система совместна. Неравенство (16.43) за-
частую позволяет ответить на вопрос: пересекаются плоскости или нет, хотя и
не дают возможность найти явный вид самого пересечения.
Пример 16.10. Указать наименьшую размерность аффинного пространства,
в котором две двумерные плоскости могут пересекаться: а) по одномерной плос-
кости (прямая), б) по нульмерной плоскости (точка).
Решение. В случае а) размерность пересечения m = 1. Отсюда, согласно
(16.42), n = 3. В случае б) размерность пересечения m = 0, отсюда n = 4 –
больше, чем в предыдущем случае.
17. Системы линейных неравенств и многогранники
В предыдущем разделе мы установили связь между системами линейных уравне-
ний и их геометрической интерпретацией как плоскостей в аффинном пространстве.
Теперь мы попытаемся рассмотреть эти же системы, заменив в них знаки равен-
ства на знаки неравенств, установить геометрический смысл таких систем неравенств
и их возможные приложения. Еще раз подчеркнем, что мы рассматриваем действи-
тельное аффинное пространство. Это особенно важно именно для этого раздела, что
будет объяснено ниже.
Пусть A
n
— аффинное пространство с репером {0,~e
1
, ~e
2
, . . . , ~e
n
}. Пусть в задан-
ном репере координаты точки M определяются столбцом (x
(0)
1
, x
(0)
2
, . . . , x
(0)
n
)
⊺
и задан
вектор ~s с координатами (s
1
, s
2
, . . . , s
n
). Через точку M в направлении вектора ~s про-
ведем прямую, параметрическое уравнение которой, согласно (15.5), имеет вид
x
i
= x
(0)
i
+ s
i
t, i = 1, n , (17.1)
где параметр t может принимать любые значения.
Частным случаем прямой (17.1) являются прямые, проходящие через начальную
точку репера в направлении вектора ~s из линейной оболочки какого-либо базисно-
го вектора, например ~e
j
. Тогда ~s = (0, 0, . . . , s
j
, . . . , 0) и параметрические уравнения
прямой запишутся как
x
i
= 0, i = 1, n , i 6= j,
x
j
= s
j
t, −∞ < t < ∞.
(17.2)
Прямые (17.2), j = 1, n, называются координатными прямыми или осями аф-
финного пространства A
n
и обозначаются Ox
j
. При этом начальную точку репера
называют еще началом координат.
Гиперплоскости x
i
= 0, i = 1, n, называются координатными гиперплоскостями
пространства A
n
.
♦ Как следует из (17.2), пересечения определенных координатных гиперплоско-
стей дают координатные прямые.
В аффинном пространстве A
n
точка P называется лежащей между точками M
и N, если существует такое t, 0 6 t 6 1, что
−−→
MP = t
−−→
MN. (17.3)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- …
- следующая ›
- последняя »
