Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 151 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

16. Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве 151
прямые π
1
и π
′′
1
пересекаются, и определим точку их пересечения. Для этого
рассмотрим объединенную систему из (16.33) и (16.34)
x
1
− x
2
+ 2x
3
= 0,
2x
1
+ x
2
− x
3
= −1,
x
1
− x
2
+ 2x
3
= 0,
x
1
+ x
2
− x
3
= −1.
(16.35)
Выписав расширенную матрицу системы (16.35) и пров едя указанные элемен-
тарные преобразования:
e
A =
1 −1 2
2 1 −1
1 −1 2
1 1 −1
0
−1
0
−1
S
2
−S
4
∼
S
3
−S
1
1 −1 2
1 0 0
0 0 0
1 1 −1
0
0
0
−1
∼
S
4
+S
1
1 −1 2
1 0 0
0 0 0
2 0 1
0
0
0
−1
,
найдем решение системы (16.35), или координаты точки пересечения плоскостей
π
1
и π
′′
1
:
x
1
= 0, x
2
= −2, x
3
= −1. (16.36)
Вернемся теперь к определению уравнения, описывающего плоскость π
2
, ко-
торая в пространстве A
3
является гиперплоскостью.
Для этого можно воспользоваться схемой построения решения, примененной
в примере 16.6, а можно поступить проще. Непосредственно из системы (16.34)
для вспомогательной прямой π
′′
1
следует, что и прямая π
1
, и прямая π
′′
1
лежат в
одной плоскости π
2
:
x
1
− x
2
+ 2x
3
= 0. (16.37)
Из этого уравнения легко найти точку, лежащую вне этой плоскости. Положив
x
2
= x
3
= 0, получим x
1
= 0. Если мы теперь вместо x
1
= 0 выберем, например,
x
1
= 1, то точка N с координатами x
1
= 1, x
2
= 0, x
3
= 0 не будет принадлежать
плоскости π
2
, что нам и требуется.
Уравнение искомой прямой π
′
1
, согласно теореме 16.2 , будем искать как урав-
нение прямой, проходящей через точку N(1, 0, 0) и параллельной прямой π
′′
1
.
Эти уравнения, как показано в примере 16.5, следует искать в виде, аналогич-
ном (16.34), т.е.
x
1
− x
2
+ 2x
3
= µ,
x
1
+ x
2
− x
3
= ν.
(16.38)
Подставив в (16.38) координаты точки N(1, 0, 0), найдем µ = 1, ν = 1.
Таким образом, уравнение прямой π
′
1
, скрещивающейся с исходной прямой
π
1
, задается системой
x
1
− x
2
+ 2x
3
= 1,
x
1
+ x
2
− x
3
= 1,
(16.39)
которую по стандартной схеме (см. пример 16.6) можно записать в параметри-
ческой форме
x
1
= 1 − t, x
2
= 3t, x
3
= 2t. (16.40)
Легко проверить, что прямая π
′
1
не параллельна прямой π
1
и не пересекается
с ней (см. примеры 16.4, 1 6.5 и рис. 9). Из рис. 9 видно, что линейные оболочки
векторов ~e и ~e
′
являются направляющими подпространствами прямых π
1
и
π
′
, π
′′
1
соответственно. Точка N не принадлежит прямым π
1
и π
′′
1
. Плоскость π
2
содержит прямые π
1
и π
′′
1
, а π
′
2
и содержит прямую π
′
.
2-й способ. Предложенный метод позволил не только найти уравнение пря-
мой, но и проиллюстрировать общий метод построения скрещивающихся плос-
костей. С другой стороны, решение данной конкретной задачи может быть

Страницы